《無界系統的KAM理論和Birkhoff正規形理論及其套用》是依託華東師範大學，由張靜擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：無界系統的KAM理論和Birkhoff正規形理論及其套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張靜
- 依託單位：華東師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
很多科學問題需要用微分方程描述。這些方程解的存在性和有效穩定性是人們關心的熱點問題。而KAM理論和Birkhoff正規形理論是刻畫微分方程解的存在性和有效穩定性的重要工具，並得到了許多方程解的存在性和有效穩定性。但實際套用中很多方程只能轉化為無界近可積反轉系統或無界近可積哈密頓系統。到目前為止無界反轉系統的KAM理論尚不完善，無界哈密頓系統的Birkhoff正規形理論尚未建立。.本項目將主要研究兩個課題，(1)無界反轉系統的KAM理論；(2)無界哈密頓系統的Birkhoff正規形理論。在(1)中，我們力爭得到法向頻率滿足弱漸近逼近條件時無界反轉系統的KAM理論並套用該理論得到非線性項帶有關於時間變數導數的波方程的小振幅擬周期解的存在性。在課題(2)中，我們將重點研究構造有界辛變換來得到無界哈密頓系統的Birkhoff正規形理論，以及通過該理論研究非線性項帶導數的薛丁格方程解的有效穩定性。
結題摘要
1，建立了適合無界的無窮維哈密頓系統在平衡點附近的Birkhoff正規形。即當該系統的頻率滿足強非共振條件時，對於任意給定的正整數r*找到了有界的Lie變換（辛變換）把原來哈密頓系統變換為新的哈密頓系統。該新哈密頓系統具有r*階Birkhoff正規形，其餘項為具有比r*更高階的零點或是關於指標高階的變數的次數大於3. 2，研究了一組(其中位勢是屬於某個具有正測定的集合)非線性項含有關於空間變數x的導數但不直接依賴變數x的薛丁格方程在周期邊界條件下，其解的動力學性態。特別的，給出了對大部分的位勢對應的非線性薛丁格方程，當初值的範數在指標為s的索伯利夫空間下足夠小的情況下，其相應的解在足夠長的時間也不會遠離初值(即，等到該方程的有限時間穩定)並給出該穩定時間的估計。 3，給出了擾動的哈密頓KdV方程在周期邊界條件下，解得長時間穩定問題。 擾動KdV方程解的性態一直非常受關注。本項目給出了在小初值下，解的長時間穩定結論。該問題中的KdV方程線性部分沒有位勢所以沒有外部參數，不能得到任意高階的Birkhoff正規形但仍可以等到4階的Birkhoff正規形，這使得擾動KdV方程的解的長時間穩定只能到達初值範數的-5/2次冪。特別地，該結論適用於擾動項直接周期依賴於空間變數x，且本身系統的周期是該周期的整數倍(該整數不能被3整除)。 4，建立了哈密頓擾動下的KdV方程在周期邊界條件下的解的均值原理。即，當初值的s指標範數很小時，相應的解與解得均值的差在時間長度小於初值的-5/2次冪時仍然很小。
