帶有共振的非線性哈密頓系統多解問題的研究

《帶有共振的非線性哈密頓系統多解問題的研究》是依託河南師範大學，由李科強擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：帶有共振的非線性哈密頓系統多解問題的研究
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：李科強
• 依託單位：河南師範大學

項目摘要

本項目研究非線性哈密頓系統解的多重性的問題。這些問題由於有物理意義，歷來受到物理學家和數學家的關注。我們主要研究帶有共振情形漸近線性的一階和二階哈密頓系統解的多重性問題。之前人們研究了很多帶有非共振的哈密頓系統的多解問題。而對於對於共振的情形，前人的研究大多從度的理論得到存在一個解。在這裡，我們將先研究簡單的一維情形，再研究高維情形。在研究高維時，由於一階對應的泛函為強不定泛函，其對應的Morse指標為無窮，研究起來難度較大。所以我們先研究二階哈密頓系統，再從之前的研究中借鑑一下有益的方法來研究一階哈密頓系統。我們將使用指標理論和Morse理論，以及尋找新的方法解決上面的問題，以期得到兩個或者的更多的非平凡解的存在性。

結題摘要

本項目研究非線性哈密頓系統解的多重性問題。我們主要研究帶有共振情形非線性的一階和二階哈密頓系統解的多重性問題。對於1維的帶有共振的二階哈密頓系統，我們用Morse理論和指標理論得到了兩個非平凡解存在的幾個定理。對於高維的帶有共振的非線性二階哈密頓系統，用分歧理論和Morse理論進行研究，初步地到了一些新的結果。並在研究過程中，用指標理論對漸近線性的橢圓方程進行研究，得到了兩個新的關於多解的結果且已發表。對於一階高維哈密頓系統，由於對應的泛函為強不定泛函，其對應的Morse指標為無窮，研究起來難度較大，解決的方法正在探索中且已取得了新的進展。我們將使用指標理論和Morse理論，以及尋找新的方法解決上面的問題，以期得到兩個或者的更多的非平凡解的存在性。