完全性

完全性，即完備性。在數學及其相關領域中，一個對象具有完備性，即它不需要添加任何其他元素，這個對象也可稱為完備的或完全的。更精確地，可以從多個不同的角度來描述這個定義，同時可以引入完備化這個概念。但是在不同的領域中，“完備”也有不同的含義，特別是在某些領域中，“完備化”的過程並不稱為“完備化”，另有其他的表述，請參考代數閉域、緊化或哥德爾不完備定理。

基本介紹

  • 中文名：完全性
  • 外文名：Completeness
  • 別稱：完備性
簡介,參見,

簡介

在數學及其相關領域中，一個對象具有完備性，即它不需要添加任何其他元素，這個對象也可稱為完備的或完全的。更精確地，可以從多個不同的角度來描述這個定義，同時可以引入完備化這個概念。但是在不同的領域中，“完備”也有不同的含義，特別是在某些領域中，“完備化”的過程並不稱為“完備化”，另有其他的表述，請參考代數閉域、緊化或哥德爾不完備定理。
一個度量空間或一致空間被稱為“完備的”，如果其中的任何柯西列都收斂，請參看完備空間。
在泛函分析中，一個拓撲向量空間V的子集S被稱為是完全的，如果S的擴張在V中是稠密的。如果V是可分空間，那么也可以導出V中的任何向量都可以被寫成S中元素的（有限或無限的）線性組合。更特殊地，在希爾伯特空間中（或者略一般地，線上性內積空間（inner product space）中），一組標準正交基就是一個完全而且正交的集合。
一個測度空間是完全的，如果它的任何零測集（null set）的任何子集都是可測的。請查看完全測度空間（complete measure）。
在統計學中，一個統計量被稱完全的，或完備的，如果不存在由其構造的非平凡的0的無偏估計量（estimator）。
在圖論中，一個圖被稱為完全的，如果這個圖是無向圖，並且任何兩個頂點之間都恰有一條邊連線。
在範疇論，一個範疇C被稱為完備的，如果任何一個從小範疇到C的函子都有極限。而它被稱為上完備的，如果任何函子都有一個上極限。請查看範疇論中的極限定義。
在序理論和相關的領域中，如格和疇（域理論）中，全序性（completeness）一般是指對於偏序集存在某個特定的上確界或下確界。值得特別注意的是，這個概念在特定的情況下也套用於完全布爾代數，完全格和完全偏序。並且一個有序域被稱為完全的，如果它的任何在這個域中有上界的非空子集，都有一個在這個域中的最小上界；注意這個定義與序理論中的完全有界性（bounded complete）有細小的差別。在同構的意義下，有且僅有一個完全有序域，即實數。
在數理邏輯，一個理論被稱為完備的，如果對於其語言中的任何一個句子S，這個理論包括且僅包括S或
。一個系統是相容的，如果不存在同時P和非P的證明。哥德爾不完備定理證明了，包含皮亞諾公理的所有公理系統都是不可能既完備又相容的。下面還有一些邏輯中關於完備性的定義。
在證明論和相關的數理邏輯的領域中，一個形式的演算相對於一個特定的邏輯（即相對於它的語義）是完備的，如果任何由一組前提Q根據語義導出的陳述S，都可以從這組前提出發利用這個演算語法地導出。形式地說，
導出
。一階邏輯在這個意義下是完備的。特別地，所有邏輯的重言式都可以被證明。即使在經典邏輯中，這與前述的完備性是不同的（即一個陳述和否定陳述對於這個邏輯而言不可能是重言式）。相反的概念被稱為可靠性（soundness）。
在計算複雜度理論中，一個問題P對於一個複雜度類C，在某個給定類型的歸約下是完全的（完備 (複雜度)），如果P在C中，並且C中的任何問題利用該歸約都可以化歸到P。例如，NP完全問題在NP類和多項式時間和多對一歸約的意義下是完全的。

參見

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