無偏估計量

對於待估參數，不同的樣本值就會得到不同的估計值。這樣，要確定一個估計量的好壞，就不能僅僅依據某次抽樣的結果來衡量，而必須由大量抽樣的結果來衡量。對此，一個自然而基本的衡量標準是要求估計量無系統偏差。也就是說，儘管在一次抽樣中得到的估計值不一定恰好等於待估參數的真值，但在大量重複抽樣時，所得到的估計值平均起來應與待估參數的真值相同，換句話說，希望估計量的均值（數學期望）應等於未知參數的真值，這就是所謂無偏性（Unbiasedness）的要求。數學期望等於被估計的量的統計估計量稱為無偏估計量。

基本介紹

• 中文名：無偏估計量
• 外文名：unbiased estimator
• 適用範圍：數理科學
• 套用：數理統計
• 作用：判斷估計量的優劣

定義

設 是來自總體X的一個樣本，θ是包含在總體X的分布中的待估參數。

若估計量 的數學期望 存在，且有 ，則稱 是θ的無偏估計量。

實際意義

在科學技術中， 稱為以 作為θ的估計的系統誤差，無偏估計的實際意義就是無系統誤差。

例如，設總體X的均值𝜇及方差σ²都存在但均未知，因為 ， ，這就是說不論總體服從什麼分布，其樣本均值是總體均值的無偏估計，樣本方差是總體方差的無偏估計。若 ，則稱 是θ的漸進無偏估計量。

結論

結論一

設總體X的k階中心矩 存在， 是X的一個樣本，不論X服從什麼分布， 是 的無偏估計量。特別地，不論X服從什麼分布，只要E(X)存在， 總是E(X)的無偏估計。

證明

因為 與X同分布，所以 。

結論二

對於總體X，設E(X)=𝜇，D(X)=σ²都存在，且σ²>0，若𝜇，σ²均未知，則σ²的估計量

是有偏的。另一方面，由於 ，所以 是σ²的漸進無偏估計量。

證明

因為，而

故

所以是σ²的有偏估計。

若在的兩邊同乘，即，而。

可見樣本方差S²可以作為方差σ²的估計，而且是無偏估計。因此常用S²作為方差σ²的估計量。從無偏估計量的角度考慮，S²比二階中心矩作為的估計好。

套用

在實際套用中，對整個系統（整個實驗）而言無系統偏差，就一次實驗來講， 可能偏大也可能偏小，實質上並說明不了什麼問題，只是平均來說它沒有偏差，所以無偏性只有在大量的重複實驗中才能體現出來；另一方面，無偏估計只涉及一階矩（均值），雖然計算簡便，但往往會出現一個參數的無偏估計有多個，而無法確定哪個估計量好。因此，無偏性的作用在於可以把重複估計中的各次誤差通過平均來消除。這並不意味著該估計量在一次使用時並能獲得良好的結果。在具體問題中，無偏性是否合理，應當結合具體情況來考慮。在有些問題中，無偏性的要求可能會導出不同的結果來。

事實上， 中的每一個均可作為θ的無偏估計量，究竟哪個估計量更合理，就看哪個估計量的觀察值更接近真實值，即估計量的觀察值更密集地分布在真實值附近。而方差能反映隨機變數取值的分散程度，所以無偏估計以方差最小者為最好、最合理，為此後人引進了估計量的有效性概念。