最小方差無偏估計

統計學上， 最小方差無偏估計（minimum-variance unbiased estimator，簡寫為MVUE）是一個對於所有無偏估計中，擁有最小方差的無偏估計。若無論真實參數值θ是多少，最小方差無偏估計（MVUE）都比其他不偏估計有更小或至多相等的方差，則稱此估計為一致最小方差無偏估計（uniformly minimum-variance unbiased estimator，簡寫為UMVUE）。

基本介紹

• 中文名：最小方差無偏估計
• 外文名：minimum-variance unbiased estimator
• 縮寫：MVUE
• 特點：擁有最小方差的無偏估計
• 領域：統計學

原理介紹

若為參數函式的一個無偏估計，且對於參數函式的任一無偏估計恆有下列關係

則稱為參數函式的一致最小方差無偏估計（UMVUE）。

若參數函式存在無偏估計，則可證明出一致最小方差無偏估計存在且只有一個。

一般地，設是參數函式的無偏估計且統計量是分布族的完備充分統計量，則

是參數函式的一致最小方差無偏估計（UMVUE）。

評估器選擇

不需要存在有效的估計量，但如果確實如此，並且如果它是無偏的，那么它就是MVUE。 由於估計量δ的均方誤差（MSE）是

MVUE使無偏估計中的MSE最小化。 在某些情況下，偏差估計量的MSE較低，因為它們的方差小於任何無偏估計量。

例子

考慮將數據作為單個觀察，來自上具有密度的絕對連續分布

我們希望找到UMVU的估算器

首先，我們了解到密度可以寫成

這是一個指數族，具有足夠的統計量。實際上這是一個滿秩指數族，因此足夠完整。

因此，

在這裡，我們使用Lehmann-Scheffé定理得到MVUE

顯然是無偏並且足夠完整，因此UMVU估算器是

這個例子說明了完整的充分統計量的無偏函式將是UMVU，正如Lehmann-Scheffé定理所述。

其它例子

對於具有未知均值和方差的常態分配，樣本均值和（無偏）樣本方差是總體均值和總體方差的MVUE。

然而，樣本標準偏差對於總體標準偏差不是無偏的。

此外，對於其他分布，樣本均值和樣本方差通常不是MVUE - 對於具有未知上限和下限的均勻分布，中間範圍是總體均值的MVUE。

如果在具有未知上限N的集合{1,2，...，N}上從離散均勻分布中選擇k個樣本（沒有替換），則N的MVUE是

其中m是樣本最大值。 這是樣本最大值的縮放和移位（如此無偏）變換，這是一個足夠和完整的統計量。