allan 方差（阿倫方差）是David AIlan於1966年提出的，最初該方法是用於分析振盪器的相位和頻率不穩定性，高穩定度振盪器的頻率穩定度的時域表征目前均採用Allan方差。由於陀螺等慣性感測器本身也具有振盪器的特徵，因此該方法隨後被廣泛套用於各種慣性感測器的隨機誤差辨識中。
基本介紹
- 中文名：allan方差
- 外文名：allan variance
- 屬性：物理計算方法
- 提出人：David Allan
- 提出時間：1966年
1. 阿倫方差的定義，計算方法以及物理意義。
David AIlan於1966年提出了Allan方差,最初該方法是用於分析振盪器的相位和頻率不穩定性，高穩定度振盪器的頻率穩定度的時域表征目前均採用Allan方差。由於陀螺等慣性感測器本身也具有振盪器的特徵，因此該方法隨後被廣泛套用於各種慣性感測器的隨機誤差辨識中。
Allan方差的基本原理如下：設系統採樣周期為τ，連續採樣N個數據點.Y(i)，i=1，2，3…N。對任意的時間r=mτ，m=1,2…N/2,由式(1)求該組時間內各點的均值序列Y(K),由式(2)求取差值序列D(K).
Y(K)=1/M K=1,2…N-M+1 (1)
D(K)=Y(K+M)-Y(K) K=1,2…N-2M+1 (2)
普通AlIan方差的定義如式(3)。其中<>表示取均值，σ=1，2，⋯，Round((N/m)-1)。
(τ)=1/2<D((P-1)M+1)>(3)
Allan方差反映了相鄰兩個採樣段內平均頻率差的起伏。它的最大優點在於對各類噪聲的冪律譜項都是收斂的；此外每組測量N一2，大大縮短了測量的時間。 交疊式Allan方差由式(4)計算：
(τ)=1/2<D(P)2> P=1,2…N-2M+1 (4)
衡量陀螺精度的一個非常重要的指標是陀螺隨機漂移(drift)，又指偏置穩定性(bias stabil—ity)以及零偏穩定性，不同套用場合對陀螺的漂移精度提出不同的要求。MEMS的隨機誤差具有慢時變、非平穩的特點，因而對其的辨識更適合採用Allan方差分析法。然而由於在相同的置信水平之下，交疊式Allan方差分析方法比普通的Allan方差具有更大的置信區間.
所謂頻率穩定度是指任何一台頻率源在連續運行之後，在一段時期中能產生同一頻率的程度，即頻率隨機起伏的程度。造成頻率起伏的根本原因是噪聲對信號相位或頻率調製的結果。這種調相或調頻所引起的頻率不穩定度在時域表現為頻率隨時間的起伏，在頻域表現為信號的頻譜純度。時域頻率穩定度一般用阿倫方差來表征.
頻率穩定度最常用的表達式是阿倫方差(Allan variance)，根據穩定度時間的長短，分為頻率短期穩定度，如lms，lOms，lOOms，ls穩定度等，中長期穩定度，如ls，10s一⋯，10000s穩定度等。頻率短期穩定度和中長期穩定度雖然它們的定義是一樣的，但反映的卻是信號穩定度方面不同的特性。短期穩定度表征了信號的抖動水平(fluctuation)，而中長期穩定度則代表了信號頻率隨時間的漂移程度(drift)。時域短期頻率穩定度在時測量非常困難，甚至是不可能的，但此時進行頻域測量則比較容易，因此，可以將測量的頻率短期穩定度即相位噪聲轉換為時域的阿倫方差實現對時域短穩的間接測量。相噪理論和統計學認為，頻域的相位噪聲和時域的阿倫方差是等效的，如果求得了彼此間的換算關係，可以進一步揭示出各表征量的物理性
2. 用阿倫方差與統計平均及均方差在誤差描述方面的差異，以及各自的優缺點
(1)均方差也叫標準差,方差開根號為均方差,工程中其量綱與變數一致,套用較廣.
樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數叫做樣本方差；樣本方差的算術平方根叫做樣本標準差。樣本方差和樣本標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動就越大。
數學上一般用D=E{[X-E(X)]^2}來度量隨機變數X與其均值E(X)的偏離程度，稱為X的方差,D開根號為均方差.
定義 設X是一個隨機變數，若E{[X-E(X)]^2}存在，則稱E{[X-E(X)]^2}為X的方差，記為D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5（與X有相同的量綱）稱為標準差或均方差。
在統計學中，均方差是對於無法觀察的參數 θ 的一個估計函式T;其定義為:它是"誤差"的平方的期望值.誤差就是估計值與被估計量的差.
(2) 對於一個給定的樣本，統計平均值（即樣本均值）就是算術平均值，當然樣本具有二重性，所以樣本均值也可理解為隨機變數（對於數理統計這種觀點占主流），而算術平均只是一個實數.
統計平均值─系統的某些物理量,如密度、壓力(強)、內能等巨觀量,有明顯的微觀量與其對應，巨觀量的觀測是在巨觀短而微觀長的時間內進行的，所得結果是微觀量在微觀長的時間中的平均值。因此，一切可觀察的巨觀物理量都是相應微觀量的統計平均值。
統計平均值在大多數情況下都是該統計量的一直最小方差無偏估計
(3)阿侖方差是美國人阿侖於1966年提出的，作為頻率穩定度的表征量。阿侖方差強調取樣時間，對頻率穩定度表征方法的統一，有所貢獻。
但是阿侖方差在某些方面是有錯誤的。阿侖方差推導一開始就用貝塞爾公式，這裡有個前提問題。貝塞爾公式是在數學期望、方差存在的條件下得出的，而阿侖方差面對的條件變了，遇到發散困難，無方差無數學期望，貝塞爾公式本身已失去成立條件，怎能再用。這是阿侖方差的一個前提性錯誤。
阿侖方差在推導中令T=τ，強調採樣時間，是正確的。又順手令N=2，則絕對不行。對貝塞爾公式，絕不能令N等於2。N足夠大是貝塞爾公式成立的條件；令N等於2，否定了貝塞爾公式的成立條件，也就否定了貝塞爾公式本身。阿侖方差是從貝塞爾公式出發的，卻又令N等於2，這樣阿侖方差已自毀根基。
阿侖方差物理意義費解,阿侖方差統計元中的根號2使其物理意義費解。是錯引貝塞爾公式，錯取因子(N-1)造成的。
不確定度理論規定用阿侖方差表征頻率的總指標，是錯誤的。
ISO指導書稱：頻率測量用阿侖方差表達指標。這種用阿侖方差表達頻率的總體特性，即包括穩定性與準確性的做法，完全錯位，可能低估偏差範圍幾個量級。
