次微分

定義

設

是一個實變數凸函式，定義在實數軸上的開區間內。這種函式不一定是處處可導的，例如絕對值函式

。但是，從右面的圖中可以看出（也可以嚴格地證明），對於定義域中的任何x₀，我們總可以作出一條直線，它通過點(x₀,f(x₀))，並且要么接觸f的圖像，要么在它的下方。這條直線的斜率稱為函式的次導數。

凸函式f:I→R在點x₀的次導數，是實數c使得：

對於所有I內的x。我們可以證明，在點x₀的次導數的集合是一個非空閉區間[a,b]，其中a和b是單側極限

它們一定存在，且滿足a≤b。

所有次導數的集合[a,b]稱為函式f在x₀的次微分。

考慮凸函式

。在原點的次微分是區間[−1, 1]。x₀<0時，次微分是單元素集合{-1}，而x₀>0，則是單元素集合{1}。

數學上，單元素集合是由唯一一個元素組成的集合。例如，集合 {0} 是個單元素集合。注意，集合諸如 {{1,2,3}} 也是單元素集合，唯一的元素是一個集合（這個集合可能本身不是單元素集合）。

一個集合是單元素集合，若且唯若它的勢為1。在自然數的集合論定義中，數字 1 就是定義為單元素集合 {0}。

在公理集合論中，單元素集合的存在性是空集公理和對集公理的結果：前者產生了空集{}，後者套用於對集 {} 和 {}，產生了單元素集合 {{}}。

若A是任意集合，S是單元素集合，則存在唯一一個從A到S的函式，該函式將所有A中的元素映射到S的單元素。

在範疇論中，單元素集合上構建的結構通常作為終對象或零對象：

凸函式在x₀可導，若且唯若次微分只由一個點組成，這個點就是函式在x₀的導數。
點x₀是凸函式f的最小值，若且唯若次微分中包含零，也就是說，在上面的圖中，我們可以作一條水平的“次切線”。這個性質是“可導函式在極小值的導數是零”的事實的推廣。

次導數和次微分的概念可以推廣到多元函式。如果

是一個實變數凸函式，定義在歐幾里得空間R內的凸集，則該空間內的向量v稱為函式在點x₀的次梯度，如果對於所有U內的x，都有：

所有次梯度的集合稱為次微分，記為

。次微分總是非空的凸緊集。

歐幾里得幾何是在約公元前300年，由古希臘數學家歐幾里得建立的角和空間中距離之間聯繫的法則。歐幾里得首先開發了處理平面上二維物體的“平面幾何”，他接著分析三維物體的“立體幾何”，所有歐幾里得的公理被編排到幾何原本。