二階以及二階以上的微分統稱為高階微分。
二階微分：若dy=f'(x)dx可微時，稱它的微分d（dy）為y的二階微分，當二階微分可微時，稱它的微分為三階微分，一般的，當y的n-1階微分可微時，稱它的微分為n階微分。
基本介紹
- 中文名：高階微分
- 外文名：High-order differential
- 學科：數學
- 定義：二階以及二階以上的微分
- 表示符號：y^(n)
- 相關名詞：高階導數
簡介,高階微分的求法,可降階的高階微分方程的解法,線性微分方程解的結構,
簡介
一階微分的定義：
設函式
在某個區間有定義，
及
在這個區間內，如果
成立，（其中A是與
無關的常數），
是比 高階的無窮小量（當
時），則稱函式 在點 可微，並且稱
為函式 在點 相應於自變數增量 的微分，記作
或者記為
即
。
二階微分：
若
可微時，稱它的微分
為y的二階微分，記為
，當 可微時，稱它的微分
為y的三階微分，記為
。
一般地，當y的n-1階微分
可微時，稱n-1階微分的微分稱為n階微分，記作
。
高階微分：二階以及二階以上的微分統稱為高階微分。
高階微分的求法
這裡dx的是x處的產生的增量，與變數x無關，視作常數，用同樣的方法，得
即y的n階微分等於它的n階導數乘上自變數的微分的n次方。
但對於複合函式我們就不能得出這一公式
這時才回能到前面導出的公式
這事實也說明高階導數不具有形式不變性。
可降階的高階微分方程的解法
（1）
型：
解法：接連積分n次，得通解。
（2）
型，不顯含未知數y：
解法：令
。
（3）
型，不顯含自變數x：
解法：令
。
線性微分方程解的結構
(1) 二階齊次方程解的結構：
形如
（1）
定理1：如果函式
是方程（1）的兩個解，那么
也是方程（1）的解（
是常數）。
定理2：如果函式 是方程（1）的兩個線性無關的特解，那么 就是方程（1）的通解（ 是常數）。
（2）二階非齊次線性方程的解的結構：
形如
（2）
定理3：設
是（2）的一個特解，Y是與（2）對應的齊次方程（1）的通解，那么
是二階非齊次線性微分方程（2）的通解。
（3）二階常係數齊次線性方程解法：
二階常係數齊次線性方程
。
解法：由常係數齊次線性方程的特徵方程的根確定其通解的方法稱為特徵方程法。
微分方程： 。
特徵方程：
。
特徵根的情況 | 通解的表達式 |
實根   |  |
實根 |  |
復根  |  |
（4）n階常係數齊次線性方程解法：
特徵方程為：
特徵方程的根 | 通解中對應項 |
若是k重根r |  |
若是k重共軛復根  |  |
（4）二階常係數非齊次線性微分方程解法：
通解：
，其中Y是對應其次方程的通解，
是非齊次的特解，用待定係數法求特解 。
1.
型：
設特解形式：
，其中
是與
同次的待定多項式。
2.
型：
設特解形式：
，其中
是與
是m次的多項式。
