對稱函式

對稱

對稱不只出現在幾何學中，也在數學領域的其他分支中出現，對稱其實就是不變數，是指某特性不隨數學轉換而變化。

若一個物件可以藉由另一個物件的不變轉換來得到，二個物件藉由不變轉換有互相對稱關係，這是一種等價關係。

在對稱函式中，函式的輸出值不隨輸入變數的排列而改變，這些排列形成一個群，也就是對稱群。在歐幾里得幾何中的等距同構中，也有使用“對稱群”一詞，更廣泛的用法是自同構群。

數學上，若對所有的 a 和 b 屬於 X，下述語句保持有效，則集合X上的二元關係R是對稱的：“若a關係到b，則b關係到a。”

數學上表示為：

例如：“和……結婚”是對稱關係；“小於”不是對稱關係。

注意，對稱關係不是反對稱關係（aRb且bRa得到b=a）的反義。有些關係既是對稱的又是反對稱的，比如“等於”；有些關係既不是對稱的也不是反對稱的，比如整數的“整除”；有些關係是對稱的但不是反對稱的，比如“模n同餘”；有些關係不是對稱的但是反對稱的，比如“小於”。

滿足傳遞性和自反性的對稱關係稱為等價關係。

在對稱函式中，函式的輸出值不隨輸入變數的排列而改變。從函式的形式中可以看出若輸入變數排列後，方程式不會改變。例如對於一個球體．若 φ 為其方位角，θ為其天頂角，r為半徑，則大圓距離可以表示為

根據上述的距離公式，可以看出一些對稱性，在以下變換下，距離不變：

一對稱矩陣可以視為是行編號及列編號的對稱函式，行編號和列編號對調後，數值不變。一些有適當光滑性的函式，其二階偏導數也可以視為是對稱函式，參照二階導數的對稱性。

一個二元關係為對稱關係若且唯若其布爾值函式為對稱函式。

一個二元關係滿足交換律若其運運算元（可視為二個變數的函式）為為對稱函式。滿足交換律的二元關係包括聯集，交集及對稱差。

伽羅瓦理論的主題在處理數學域中隱藏的對稱性。

對偶也是一個和對稱有關的數學概念。

在坐標空間中可以考慮幾何中的對稱。如果稱一物件為對一給定的運算為對稱的話，即表示若作用在此一物件上時，此一運算並不會改變此物件或其外觀。在二維幾何中，較有興趣的幾種主要的對稱為相對於基本之歐幾里得空間等距的：平移、旋轉、鏡射及滑移鏡射，可以用點群表示。三維空間中的三維點群則更為複雜。

在二十世紀以前，群和變換群（群作用）為同義詞，一直到二十世紀初期才有不用群作用來定義群的抽象定義。

微分方程的對稱是指不改變微分方程的變換，這些對稱的知識有助於微分方程的求解。

微分方程系統的Lie對稱是指一個微分方程系統的連續對稱，Lie對稱的知識可以藉由降階的方程簡化常微分方程。