對稱定理

對於連續，每一點均可導的函式p(x)，則存在等價關係

p(xo+x)=p(xo-x)<=>p'(xo+x)+p'(xo-x)=0

p(xo+x)+p(xo-x)=c <=> p'(xo+x)=p'(xo-x)

敘述成文字為：一個連續每一點均可導的函式p(x)，若p(x)關於x=xo對稱，則它的導數必然關於(xo,o)中心對稱，同時滿足後者亦可推到前者

若p(x)關於(xo,c/2)中心對稱，則它的導數必然關於x=xo對稱，同樣由後者可以推到前者

基本介紹

• 中文名：對稱定理
• 外文名：Symmetric theorem
• 提出者：忍風佐助
• 提出時間：2017年
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：對稱函式

定律定義

對於連續，每一點均可導的函式p(x)，則存在等價關係

p(xo+x)=p(xo-x)<=>p'(xo+x)+p'(xo-x)=0

p(xo+x)+p(xo-x)=c <=> p'(xo+x)=p'(xo-x)

敘述成文字為：一個連續每一點均可導的函式p(x)，若p(x)關於x=xo對稱，則它的導數必然關於(xo,o)中心對稱，同時滿足後者亦可推到前者

若p(x)關於(xo,c/2)中心對稱，則它的導數必然關於x=xo對稱，同樣由後者可以推到前者

推導過程

證明：先證明第一個等價關係依p(xo+x)=p(xo-x)，兩邊求導就有p'(xo+x)+p'(xo-x)=0,再來證明由後者必然能推到前者由於先決條件，p(x)圖像上必然存在（xo,p(xo))，若欲證p(xo-x)=p(xo+x)考慮積分形態p(xo-x)=p(xo)-∫（x0-x,xo）p'(x)dxp(xo+x)=p(xo)-∫(xo+x,xo) p'(x)dx兩式相減便有p(xo+x)-p(xo-x)=∫(x0-x,xo)p'(x)dx-∫(xo+x,xo)p'(x)dx=∫(xo-x,xo+x)p'(x)dx注意到p'(xo+x)dx=-p'(xo-x)dx得出∫(xo-x,xo+x)p'(x)dx=0於是p(xo+x)-p(xo-x)=0證出p(xo+x)=p(xo-x)再來證明第二個等價關係因p(xo+x)+p(xo-x)=c對方程兩邊求導就有p'(xo+x)=p'(xo-x)接著證明由後者必然能推到前者若欲證p(xo+x)+p(xo-x)=c，依然考慮積分形態p(xo+x)=∫(xo,xo+x)p'(x)dx +p(xo)p(xo-x)=∫(xo,xo-x)p'(x)dx+p(xo)兩式相加便有P(xo+x)+p(xo-x)=∫(xo,xo+x)p'(x)dx-∫(xo-x,xo)p'(x)dx+2P(xo)注意到p'(xo+x)=p'(xo-x)得出∫(xo,xo+x)p'(x)dx-∫(xo-x,xo)p'(x)dx=0即p(xo+x)+p(xo-x)=2P(xo)令p(xo)=c/2證出p(xo+x)+P(xo-x)=c

幾何意義

對於對稱軸為xo函式p(x)，由於它的導數p'(x)關於(xo,0)中心對稱，在p'(x)圖像上取關於其對稱的兩點，圖像從xo到這兩點與x軸圍成的面積大小相等，增量的正負相反，決定了p(xo+x)和p(xo-x)的值必然相同對於對稱中心為(xo,c/2)的函式p(x)同理可以解釋，但由於增量的正負是相同的，決定了p(xo+x)-c/2=c/2-p(xo-x)這一事實

判別法

利用我們已經推出的式子p(xo+x)=p(xo-x)<=>p'(xo+x)+p'(xo-x)=0p(xo+x)+p(xo-x)=c <=> p'(xo+x)=p'(xo-x)注意到我們推廣到2n和2n-1階導數情形的表達式已經不再具備等價性，即由後者不再能直接推到前者譬如，若我們已知函式p(x)，（設它存在的最高階導數的階數足夠大或者無窮）它滿足p2n(xo+x)=p2n(xo-x)利用上式我們可以推到p2n-1(xo+x)+P2n-1(xo-x)=c但由於c不一定等於0，我們無法由上式繼續遞推到p2n-2(xo+x)=P2n-2(xo-x)因此，若欲推得p(x)關於xo對稱，必須讓它的2n-1階到1階為止的所有奇數階導數滿足c=0，即有下式成立p2k-1(xo)=0 k=1,2,.....n便建立起普遍存在的充分必要條件pn(x)滿足pn(x+xo)+pn(xo-x)=0或者pn(xo+x)=pn(xo-x)且pk(xo)=0 k=n,n-2,n-4,.....kmin (kmin為與n奇偶性相同的最小正整數）或者pk(xo)=0,k=n-1,n-3,....kmin(kmin為與n奇偶性相異的最小正整數若稱上述條件為對稱條件，則對稱條件是p(x)具有對稱性的充分必要條件對稱條件也將成為普遍適用於判定任何符合先決條件的函式是否具有對稱性的判別法

對稱定理的套用

對稱定理尤其適用於形如p(x)=a0+a1x+a2x^2+.....anx^n的n次函式依對稱定理，我們知道當n≥4時，p(x)將不一定具有對稱性（按照我們上面所說的，c不一定為0）利用對稱定理，我們還可以知道，偶數次函式不可能有對稱中心，奇數次函式不可能有對稱軸，並且它們的對稱軸（或者對稱中心）都最多只有一個我們現在利用歸謬法來證明這一結論假設p(x)為奇數次函式，且它存在對稱軸，依對稱定理，它的任何偶數階導數也將有著相同的對稱軸但pn-1(x)=(n-1)！a(n-1)+n!anx，而它不可能有對稱軸故假設不成立，便證明了結論同理可以證明p(x)是偶數次函式的情形依對稱定理，無論n是奇數或者偶數，若p(x)關於x=xo對稱或者關於（xo,c/2)對稱都將有pn-1(xo)=0而pn-1(xo)=(n-1)!a(n-1)+n!anx，它只有唯一一個零點於是對於任意n次函式，它們都將最多只有一個對稱軸或者對稱中心此外利用上式，我們立即得出一個有用的結論無論p(x)關於x=xo對稱或者關於(xo,c/2）中心對稱，xo必然是方程(n-1)！a(n-1)+n!anx=0的根即xo=-a(n-1)/nan在這裡我們要同樣指出，xo的表達式不止一個，由對稱條件我們已經知道xo也必然同樣是p(x)某些其他階導數的零點，而用那些方程表達這一零點，將會用到除an,an-1以外的其他係數，只不過我們在這裡寫出了最簡單的情形。上面的結論同樣表明，對於對稱函式p(x)，它的係數之間必然存在聯繫，已知它的若干項係數之後便可以推出其餘項係數滿足的條件，於是必然可以把它的某些係數用其他係數表達，甚至在一定條件下寫出an的通項公式，而這也是忍風佐助尚未解決的問題之一。最後對於n次函式p(x)，建立判別法首先假設p(x)存在對稱軸或者對稱中心其次寫出xo=-a(n-1)/nan最後依對稱條件檢驗xo是否能使相應階的導數值為0若滿足對稱條件，立即推出它是對稱函式實際上，在檢驗過程可以通俗地描述為，判定xo是否為p(x)各個奇數次冪導數的零點。