基本介紹
- 中文名：對稱關係
- 外文名：symmetrical relation
- 所屬學科：數學
- 所屬領域：集合論
- 相關概念：二元關係、逆關係、集合等
對稱的關係,對稱性關係推理,關係判斷,關係判斷的定義,關係判斷的組成,關係判斷的結構式,關係的分類,
對稱的關係
亦你“具有對稱性的關係”。對於類k中一個確定的關係R來說，類k中的任意兩個個體x，y， 如果xRy真yRx就必真，則稱關係R為類k中對稱的關係（對稱關係）， 如果xRy真yRx就必假， 則稱關係R為類K中反對稱的關係（反對稱關係）；如果對於某些個體x，y， xRy真同時yRx也真， 而對於另外的個體x，y，xRy真時yRx卻假，則稱關係R為類k中非對稱的關係（非對稱關係）。例如，兩條直線之間的平行關係、垂直關係、 兩個數之間的相等關係等都是對稱的關係；兩個實數之間的大於關係、 小於關係等部是反對稱的關係，兩個實數之間的不大於關係， 不小於關係等則是非對稱的關係， 這是因為由a不大於b， 並不能斷定b是否不大於a。
對稱性關係推理
對稱性關係推理是指前提和結論都是具有對稱性的關係判斷的推理。 所謂對稱性關係是指：當，且僅當對象a和b之間有一定關係時， 對象b和a之間也有這種關係。如，等於關係、某些親屬關係、同一關係、 同時關係，同地關係，全異關係等都屬於對稱性關係。 根據這些對稱性關係進行推演的關係推理都是對稱性關係推理。例如，數學裡的“a=b， 所以，b=a，”就屬於具有等於性的對稱性關係推理。如，“a是b的兄弟，所以，b也是a的兄弟。”這就是表示某些親屬關係的對稱性的關係推理。 又如，“李白和杜甫是同時代的人，所以， 杜甫和李白是同時代的人。”這是表示同時關係的對稱性關係推理。
對稱性關係推理可以用如下的公式來表示：R(a，b)→R(b，a)。或者是：aRb，所以， bRa。在這裡，R代表對稱性關係，a和b分別為兩類對象。 對稱性關係推理的規則：如果判斷R(a，b)真，那么，R(b，a)也真。
關係判斷
關係判斷的定義
關係判斷是斷定對象與對象之間關係的簡單判斷。簡單判斷除了性質判斷以外，還有關係判斷，關係判斷是斷定對象與對象之間關係的判斷。
例如:①長江長於黃河；②鄭州在洛陽與開封之間；③笑比哭好；④徐特立與毛澤東有師生關係。這四個判斷都是關係判斷。例①斷定了“長江”與“黃河”之間有“長於”的關係；例②斷定了“鄭州”和“洛陽”、“開封”三者之間存在前者在後面二者之間的“在...之間”的關係；例③斷定了“笑”與“哭”之間有“比....好”的關係；例④判定了“徐特立”與“毛澤東”之間有“師生關係”。
關係判斷和性質判斷不同。性質判斷是斷定對象是否具有某種性質(即對象與性質之間的關係) 的判斷，主項只有一個; 而關係判斷卻是斷定對象與對象之間是否具有某種關係的判斷，而關係總是存在於兩個或兩個以上的對象之間，因此，關係判斷的對象就有兩個或兩個以上，即主項至少是兩個。存在於兩個對象之間的關係叫兩項關係，存在於三個對象之間的關係叫三項關係，存在於三個以上對象之間的關係叫多項關係。
關係判斷的組成
關係判斷由三部分組成：關係者項、關係項、量項。
關係者項。反映一定關係承擔者的概念(或表示一定關係所聯結的概念)，也就是關係判斷的主項。如前述各例中的“長江"、“黃河’，、“鄭州"、“開封"、“笑’’、“哭"、“徐特立"、“毛澤東’’。在關係判斷中，關係者項至少有兩個，也可以是三個或多個。在兩項關係中，在前的關係者項叫關係者前項，在後的關係者項叫關係者後項。若有三個以上關係者項，則按先後次序可分別稱之為第一、第二、第三……關係者項。通常用“a"、“b’’、“c”……表示。
關係項。表示各關係者項之間的關係的概念，也就是關係判斷的謂項。上述各例中的“長於"、“比……好”、“師生關係"、“在……之間”都是關係項，通常用“R"表示。
量項(關係量項)。表示關係者項數量的概念。每一個關係者項都可以有量項。如“有的美國人高於所有中國入"。其中，“有的”“所有"都是關係者項的量項。
關係判斷的結構式
根據上述關係判斷的組成要素，我們就可以把具有兩項關係的判斷的結構式表示為；所有(有的)aR有的(所有)b。具體表達為四種基本形式。
所有aR所有b；
所有aR有的b；
有的aR所有b；
有的aR有的b。
實際上，關係判斷既有肯定形式，又有否定形式。例如“5大於3"是肯定關係判斷。而“3不大於5”，就是否定關係判斷。它否定了“3”對於“5’’具有“大於"的關係。這樣，兩項關係判斷的基本形式應該還有另外幾種。
所有
所有b；
所有 有的b；
有的 有的b；
有的 所有b。
在關係判斷中，如果關係者項表示的是一個或一類對象，量項可以省略。這樣，二項關係判斷可以寫為：
R(a、b)或aRb；
一個三項的關係判斷可寫為：
R(a、b，c)；
