逆關係

逆關係(inverse relation)是集合論的基本概念之一，一種特殊的關係。對於兩個事物之間的某個關係，顛倒事物的位置以後其間存在的關係。

基本介紹

• 中文名：逆關係
• 外文名：inverse relation
• 所屬領域：數理科學
• 性質：集合論的基本概念之一

定義

設R是集合A上的關係，稱集合 是R的逆關係，記作 ，符號 稱為關係的求逆運算符。

例如實數集合上的“大於等於”關係和“小於等於”關係。整數集合上的“整除”關係和“被整除”關係，冪集合上的“包含”關係和“被包含”關係，均互為逆關係，有些關係的逆關係是它自己。例如整數集合上的模k同餘關係和冪集上集合的補關係的逆關係是它自己。

相關定理

定理1

若R是集合A上的關係，則 。

證明：僅需證明：對於任意 ,有 ，

若 ,則；

因此；

因此；

所以；

若，則；

因此；

因此；

所以；

綜上，。

定理2

若集合 , 都是集合A上的關係，則有

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

僅需證明：對於任意，成立。

根據關係代數和布爾矩陣代數的同構性質，有

因此可得

例題解析

設集合，R和S均為A上的二元關係，且,,且，，可見