子流形幾何的整體性質研究

《子流形幾何的整體性質研究》是依託武漢大學，由邱紅兵擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：子流形幾何的整體性質研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：邱紅兵
• 依託單位：武漢大學

項目摘要

關於用V-調和映照方法研究self-shrinker的幾何性質，現有文獻很少涉及，而這種方法對解決子流形整體性問題非常重要，本課題計畫用V-調和映照研究其剛性定理。另一方面，由於非逆緊self-shrinker的研究結果不多，使得我們對它的幾何了解並不充分，我們計畫通過DPW方法研究其Weierstrass表示，進而給出非逆緊的例子。此外，平均曲率流中有著名的猜想：R^n中平均曲率流在第一奇點處平均曲率一定blow up，該猜想至今尚未得到解決，本課題計畫在F-穩定的條件下證明猜想成立。另外，M^nxR中極小圖的連通分支的最大個數問題（Meeks猜想在M^nxR中的推廣），由於其極小子流形上沒有平均值定理，使得已有方法不再有效，從而問題變得比較困難，是令人關注、有待解決的問題，我們將對此進行研究。本課題採用的研究方法能更全面的揭示子流形幾何的整體性質，其研究結果對該領域有重要的理論價值。

結題摘要

本項目主要利用V-調和映照研究子流形的幾何性質及其相關問題。具體如下： （1）利用新建立的Omori-Yau極值原理，我們證明了偽歐氏空間中任何完備類空自收縮子(self-shrinker)一定是仿射平面，而且不存在完備類空平移孤立子(translating soliton)。在此研究路徑上，已達最優結果。 （2） 證明從完備非緊黎曼流形出發的V-調和映照熱流的整體存在性，將Chen- Jost-Wang [JGA, 2015]的結果從緊緻帶邊情形推廣到完備非緊情形。進一步，我們的方法可以改進我們先前得到的劉維爾型定理，從而覆蓋了Brighton [JGA, 2013]的結果。（3）研究了非線性拋物方程u_t=\Dealta_V u + au\log u正解的梯度估計和Harnack不等式，推廣了Huang-Huang-Li [AGAG, 2013]和Li-Xu [AIM, 2011]的結果。 （4） 當外圍流形是具有有界幾何的完備黎曼流形時，初始流形是閉的超曲面，考慮它在冪平均曲率流下的形變。我們在一定的曲率條件下建立了冪平均曲率流的延拓定理，推廣了李逸的結果。 （5） 在一定的條件下，證明了組合曲率流的長時間存在性和收斂性，推廣了Chow-Luo的結果。