《子流形的剛性及其套用》是依託清華大學，由李海中擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：子流形的剛性及其套用
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：李海中
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
子流形幾何是整體微分幾何的重要研究內容,其研究不僅在幾何分析,拓撲和方程等方面有重要數學作用,而且在理論物理有很多套用.本項目主要研究一些對稱空間中子流形的幾何與拓撲,包括對稱空間中子流形的剛性及其在幾何分析中的套用. 具體地,我們一是研究在高余維平均曲率流中第一類奇點分類出現的自相似子流形, 它是一類帶權體積泛函的變分問題,滿足特殊方程組的子流形,我們通過構造典型的自相似解,研究其剛性,在適當的條件下給出自相似解的分類;二是把Colding-Minicozzi最近關於自相似超曲面的F-穩定, entropy-穩定的重要結果推廣到高余維自相似子流形;三是通過構造典型例子研究仿射空間中具有平行Cubic 形式 的不定仿射超曲面的分類和仿射等參超曲面的分類.四是通過構造典型例子研究復空間形式中具有平行第二基本形式的不定Lagrangian 子流形的剛性和分類問題.
結題摘要
本項目在下面六個方面取得一系列重要研究成果： (1) Pinkall-Sterling猜想的解決：李海中和Ben Andrews合作論文 “Embedded constant mean curvature tori in the three-sphere”, 解決了著名的 Pinkall-Sterling猜想：3維球面中常平均曲率的嵌入環面是旋轉環面。文章給出3維球面中常平均曲率H嵌入環面的完全分類。 (2) 子流形幾何的剛性研究：研究了歐氏空間中平均曲率流的自相似解，計算了F-泛函的第二變分， 引進F-穩定性的概念， 給出高余維F-穩定自相似解的分類， 推廣Colding-Minicozzi的關於超曲面的著名結果。給出3維復空間形式中3維齊性拉格朗日子流形的完全分類，特別給出3維復射影空間中Berger球面的一個新特徵。研究了n維復歐式空間和n維復射影空間中閉Lagrangian子流形， 得到微分球定理。對高余維graph子流形， 得到Gauss-Bonnet-Chern 質量m_2 的正質量定理和Penrose型不等式, 研究了球面中具有常數數量曲率超曲面的穩定指標。 (3) 逆曲率流和曲率流的研究：對雙曲空間中星形和2-凸超曲面，利用逆平均曲率流證明關於主曲率的第二基本對稱函式和面積的最優積分不等式，並且研究了球面和雙曲空間中嵌入超曲面的曲率流， 得到 non-collapsing性質。 (4) 第一特徵值的下界估計和直徑估計：研究了Witten-Laplacian運算元的第一特徵值估計，並給出緊緻Shrinking Ricci Solitons的直徑估計，得到 Bakry-Emery Ricci曲率有正下界緊緻（帶邊）流形的f-拉普拉斯運算元的第一特徵值的最優下界估計， 並且證明下界達到若且唯若流形為球面（半球面）。研究了具有負Ricci曲率下界的緊緻帶邊流形， 在邊界的平均曲率為嚴格正下界的假定下， 給出直徑的最優上界估計。 (5) Weyl共形泛函的研究：研究了黎曼流形上一類共性不變泛函（Weyl 泛函）的變分問題，計算了Weyl 泛函的第一，第二變分，並證明兩個3維單位球面乘積是Weyl 泛函的嚴格穩定點（即第二變分為正）。 (6)Li-Yau估計和有關結果：研究了幾類非線性偏微分方程，得到Li-Yau型梯度估計和幾何套用。
