《Lorentz空間形式中子流形的剛性和形變問題》是依託北京理工大學，由李同柱擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Lorentz空間形式中子流形的剛性和形變問題
- 依託單位：北京理工大學
- 項目負責人：李同柱
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
子流形幾何研究中一個基本的問題是尋找最精簡的不變數,在相差外圍空間變換群的一個變換下,完全決定子流形在外圍空間中的形狀.在Riemann空間形式中,大多數超曲面完全由它內蘊的度量決定其形狀,這種超曲面稱為具有剛性.其餘不能由其內蘊度量決定其形狀的超曲面稱為可形變超曲面,這類可形變超曲面被完全確定並分類．Riemann空間形式中子流形的剛性及形變的研究也比較豐富,而且對它的認識也比較深入.但對Lorentz空間形式中的子流形的剛性及形變的研究比較少,還處於一個前期發展階段.本項目研究Lorentz空間形式中類空子流形和類時子流形關於它的度量,度量共形類,Moebius度量的剛性和形變問題；同時也研究Lorentz空間形式中的一些具有特殊等距和共形不變數的超曲面.研究的目的是想弄清楚Lorentz空間形式中子流形的內蘊幾何在多大程度決定其外蘊幾何,以及子流形的等距不變數和共形不變數之間的關係.
結題摘要
本項目研究Lorentz空間形式中類空子流形和類時子流形關於它的度量，度量共形類和Moebius度量的剛性和形變問題；同時也研究Lorentz空間形式中的一些具有特殊等距和共形不變數的超曲面，研究的目的是想弄清楚Lorentz空間形式中子流形的內蘊幾何在多大程度決定其外蘊幾何，以及子流形的等距不變數和共形不變數之間的關係. 四年來，我們按計畫書執行研究計畫，成功地解決了Lorentz空間形式中類時和類空超曲面的等距形變和剛性問題，也解決它們的Moebius度量的形變和剛性問題。對於類空和類時子流形，我們也得到了部分結果，特別是對於余維數為2的子流形，我們解決了等距剛性和Moebius剛性問題。同時我們徹底分類了具有常共形曲率的類空超曲面，分類了具有常Para-Blaschke特徵值的類空超曲面等一些具有特殊不變數的類空超曲面。 另外，利用在項目研究中發現的新的思路，我們也研究了球面中超曲面的Moebius幾何。我們主要分類了球面中具有常Moebius曲率的Dupin超曲面，分類了歐氏空間中具有常Laguerre曲率的Dupin超曲面。研究了共形平坦超曲面的數量曲率的剛性。得到了緊緻Willmore的一個Simon型積分不等式，並證明取等號是由Willmore環面。這些結果解決了球面中Moebius幾何中二十多年沒有解決的問題，是Moebius幾何中比較重要的結果。 利用本項目，培養博士生一名，碩士生兩名。這樣，本項目的研究結果很豐富，項目執行比較成功。
