S^4與洛侖茲空間形式中的曲面的共形幾何

《S^4與洛侖茲空間形式中的曲面的共形幾何》是依託廈門大學，由宋宇萍擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：S^4與洛侖茲空間形式中的曲面的共形幾何
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：宋宇萍
• 依託單位：廈門大學

項目摘要

Moebius幾何是李球幾何的子幾何，Moebius變換群保持歐氏空間中的點球不變。本項目旨在研究S^4中曲面的Moebius幾何若干問題，包括分類常Moebius曲率的Willmore曲面，研究法叢平坦的緊緻Willmore曲面；在本項目中，我們將引入Lornetz空間形式的共形模型(Q^n_r)去研究其中曲面的共形幾何，研究問題包括計算類時曲面的Willmore泛函的變分；討論Q^n_r中類時等溫曲面的spectral變換，Darboux變換及c-polar變換；研究Q^n_r中等溫Willmore曲面的分類問題；構造出Lorentz空間形式中共形不變的等溫曲面流和Willmore曲面流。

結題摘要

共形幾何與Laguerre幾何分別研究曲面或者子流形在共形變換群和Laguerre變換群下的不變性，二者都是李球幾何的子幾何。幾何學家一直致力於“球”幾何的研究並且取得了 廣泛的研究成果。比較經典的內容可以參考Blaschke的書(Vorlesungen über Differentialgeometrie, Vol.3.)。項目申請者對Laguerre幾何與共形幾何都做過一些具體研究，並且得到了一些研究成果，以此希望能揭示這兩種幾何之間的內在聯繫。在本項目研究中，項目負責人特別考慮了四維宇宙時空RW(Robertson-Walker Space)中的Marginally trapped曲面與零平均曲率曲面。任何三維空間形式$M^3(c)$中的曲面可以嵌入到RW時空看作是該時空中光束的光源，並且其速度方向沿著類光的測地線。我們主要來研究RW時空中的Marginally trapped曲面，即曲面的平均曲率向量是類光的。對於Margianlly trapped曲面我們做關於面積泛函的變分，得到RW時空中零平均曲率曲面滿足的Euler-Lagrange方程。特別地，共形極小曲面(Willmore曲面)與Lagurre極小曲面都是RW時空中特殊的極值曲面，因此RW時空很好地統一了共形幾何與Laguerre幾何。 在本項目中，我們還研究了偽黎曼空間形式中類時曲面的共形幾何。我們定義了關於類時等溫曲面的廣義的Christoffel變換，並且證明該變換還保持類時等溫曲面。我們給出了一個類時等溫曲面的Darboux對滿足的curved-flat型。最後確定了廣義的Christoffel變換與Darboux變換滿足交換定理。 綜上，本項目通過研究宇宙時空模型RW時空中的MT(Marginally trapped)曲面與$H=0$的曲面，揭示了經典的共形幾何與Lagurre幾何都可以被統一到RW時空中研究。我們希望在後續的研究中更多的發現兩種李球幾何子幾何的深刻聯繫，進一步解決李球幾何中的重要研究課題。