《單調不等式、消滅定理及其套用》是依託復旦大學，由東瑜昕擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：單調不等式、消滅定理及其套用
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：東瑜昕
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
單調不等式是幾何變分問題中臨界點滿足的一個重要性質, 它在研究解的各種性質中發揮了重要的作用，例如解的正則性和唯一性等。應力-能量張量是研究泛函能量行為，建立單調性不等式和消滅定理的重要工具。消滅定理是微分幾何和復代數幾何的重要方面， 它們在幾何結構的剛性問題中有重要的套用。本項目擬利用應力-能量張量來研究幾何變分問題中各種能量泛函，建立整體和局部的單調不等式；在能量增長性條件下，建立消滅定理。我們還將在適當的條件下研究微分不等式解的消滅定理。本項目研究對象涉及各種臨界映照、臨界度量，包括調和映照、p-調和映照、F-調和映照、Hermitian調和映照、極小子流形及Riemann流形和Kaehler流形上的典則度量等。幾何套用涉及各種調和映照的Liouville定理、極小子流形的Bernstein定理、Riemann流形和Kaehler流形的剛性定理和單值化型定理等。
結題摘要
項目成員在基金資助下完成如下研究工作： (1) 我們對於Kaehler流形之間的映照的部分能量，引入了相應的應力能量張量。利用這些應力能量張量，對於多重調和映照、調和映照的部分能量建立了單調不等式，然後給出了多重調和映照或調和映照的全純性和Liouville型結果。我們還利用應力能量張量探討了CR映照的全純延拓問題。 (2) 對於Herimtian流形到Kaehler流形的映照，我們引入了Hermitian 多重映照的概念，然後利用應力能量張量對於Hermitian多重調和映照的部分能量建立了單調不等式，給出了刻畫這些映照的全純性結果。(3) 我們利用應力能量張量及窮竭函式，對滿足守恆率的p-形式建立了單調不等式，並用這些不等式來研究常數量曲率的Kaehler流形和某些極小子流形的剛性現象。 (4) 推導了擬Hermite 流形間擬調和映照的第二變分公式, 給出了擬調和映照若干不穩定性的結果. (5) 利用應力-能量張量，我們研究了從完備非緊黎曼流形出發的F-調和映照，在無窮遠漸近條件下對F-調和映照建立了若干Liouville型定理。(6) 導出了偽黎曼流形中的偽黎曼子流形的雙調和方程，證明了擬全臍雙調和偽黎曼子流形具有常平均曲率，然後給出了最多具有兩個不同主曲率的雙調和偽黎曼超曲面的分類。
