《平均曲率流的自相似解和奇性分析及其套用》是依託復旦大學，由丁琪擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：平均曲率流的自相似解和奇性分析及其套用
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：丁琪
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
平均曲率流是體積的負梯度流，它使超曲面沿體積下降最快的方向流動。它粗略的可看成極小子流形的拋物版本，可用來研究極小子流形，甚至低維拓撲等領域的問題。該流在材料科學中已使用、研究了近百年，用於模仿事物，如細胞、穀粒、氣泡的增長。平均曲率流最重要的問題之一是研究流的奇點。掌握流在奇點附近的結構和它的奇點集的結構是很困難的。儘管如此，人們對平均凸和僅有‘一般性’奇點的流已有重要的認識，並提出了很多相關的值得研究的問題。作為奇點模型，自相似解在研究流的奇點中有重要的作用。人們對超曲面定義了幾何量：熵，並在如何分類具有小熵的自收縮解上已取得了幾個出色的結果，但仍有很多值得研究的地方。運用平均曲率流，人們證明了面積極小的錐的密度的最優下界，並給出了一類邊界映照下極小曲面方程組的狄里克雷問題的經典解。該流還可以用來研究很多相關問題。
結題摘要
歐氏空間中子流形的平均曲率流是體積的負梯度流，它使子流形沿體積下降最快的方向流動。粗略的說，它是極小子流形的拋物版本，可用來研究極小子流形，甚至低維拓撲等領域的問題。該流在材料科學中已使用、研究了近百年，用於模仿事物，如細胞、穀粒、氣泡的增長。平均曲率流最重要的問題之一是研究流的奇點。然而奇點的研究非常之困難，所以我們先研究奇點模型：自相似解，這對了解流的奇點有重要的意義。我們通過高斯映照、第二基本型的模長研究了自收縮解的剛性特徵，得到了幾個最優的剛性定理。通過平均曲率流自膨脹解研究了正則錐的擾動，特別是非面積極小的極小錐有正平均曲率光滑超曲面擾動；作為套用，可以研究非面積極小的極小錐的密度的無維數最優下界。通過研究從高余維圖出發的平均曲率流長時間存在性，在一類邊界條件下我們給出了極小曲面方程組的狄里克雷問題的經典解，這推廣了Jenkins-Serrin經典結果；進一步我們還研究了解的邊界正則性，其中我們的假設條件比前人弱很多。
