《熵穩定自相似解的分類及其在泛幾何流中的套用》是依託中國科學技術大學，由張永兵擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：熵穩定自相似解的分類及其在泛幾何流中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張永兵
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
最近Colding與Minicozzi利用熵穩定性的概念證明了Huisken關於泛平均曲率流下的奇點分類方面的一個猜想。熵穩定性的概念具有很大的一般性，可套用於其他泛幾何流的研究。本項目熵穩定自相似解的分類及其在泛幾何流中的套用計畫圍繞自相似解的熵穩定性概念及其在泛幾何流中的一些簡單套用展開研究。研究內容主要包括熵公式，熵泛函的性質，熵穩定性與F-穩定性的關係，熵穩定自相似解的分類，自相似解模空間的緊性，以及它們在泛幾何中的一些簡單套用。我們感興趣的幾何流包括調和映射熱流，Lagrangian平均曲率流，Sasaki-Ricci流和Yang-Mills流。本課題的創新之處主要在於尋找處理張量場變數的F-穩定性不等式的方法，以及泛幾何流新的套用形式。
結題摘要
2012年，Colding與Minicozzi利用熵穩定性的概念證明了Huisken關於泛平均曲率流下的奇點分類方面的一個猜想。熵穩定性的概念具有很大的一般性，可適用於其他幾何流的自相似解，甚至可用來研究幾何流的本性奇點。在本項目“熵穩定自相似解的分類及其在泛幾何流中的套用”中，我們研究了Yang-Mills流相似解的熵穩定性概念，並且研究了Lagrangian平均曲率流自相似解的Lagrangian F-穩定性。這兩部分工作包含在兩篇文章中。在第一篇文章中，我們定義了聯絡的F-泛函、熵，證明了熵公式，即熵沿著Yang-Mills流的遞減性。在此基礎上我們定義了Yang-Mills流自相似解的熵穩定性與F-穩定性，研究了熵穩定性與F-穩定性的關係，並利用Jacobi運算元的譜給出F-穩定性的等價刻畫。在第二篇文章中，我們主要研究了緊緻無邊的Lagrangian平均曲率流自相似解的Lagrangian F-穩定性與Hamiltonian F-穩定性，即在Lagrangian或Hamiltonian形變下的F-穩定性。我們給出了相對完整的分類。特別的，我們證明了第一貝蒂數大於或等於2的緊緻無邊自相似解都不是Lagrangian F-穩定的。文章分別發表在Transactions of the American Mathematical Society和Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik上。
