《典型黎曼流形與子流形的分類研究》是依託鄭州大學，由胡澤軍擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：典型黎曼流形與子流形的分類研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：胡澤軍
- 依託單位：鄭州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
利用基本幾何不變數對典型黎曼流形與子流形進行刻畫和分類，是整體與局部微分幾何理論的核心課題，歷來為幾何學家高度關注，湧現了大批經典的深刻結果。近年來，伴隨著幾何分析方法、泛函的臨界點研究技巧、微分拓撲學研究成果等在該課題研究上的成功運用和其自身新的研究方法的湧現，該領域的研究又取得了顯著進展。本項目將依託課題團隊多年來從事相關研究的知識積累和成果基礎，集中開展具有特殊幾何與拓撲性質的典型黎曼流形與子流形的分類研究，將特別立足於在包括下列課題的研究上做出創新性研究成果：空間形式中特殊性質子流形在共形變換群或Lie球變換群下的分類，特別是關於Dupin超曲面懸而未決的Cecil-Chi-Jensen問題；仿射微分幾何中與仿射球面緊密相關的超曲面的分類；復空間形式中平行子流形和特殊性質實超曲面的幾何分類；與重要黎曼泛函臨界點相關的典型度量的幾何與分析刻畫。
結題摘要
本項目的研究嚴格按計畫圍繞典型黎曼流形與子流形的分類進行，在一系列課題研究中實現突破並取得重要成果，共正式發表SCI論文20篇，出版學術著作一部。主要業績體現在以下七大方面：（1）在球面子流形研究中，在解決余維2的特殊情形基礎上，進而徹底完成了具有平行Moebius第二基本形式的子流形的完全分類。（2）在等積仿射微分幾何中，完成了四維Einstein仿射球面的分類並發現了一般維數Einstein仿射球面最佳的剛性現象。（3）在中心仿射微分幾何中，限定局部嚴格凸中心仿射超曲面的條件下，完成了具有平行三次形式的超曲面、具有平行跡零三次形式的超曲面、迷向仿射超曲面等多項重要分類。（4）在六維近凱勒流形S^3*S^3的子流形研究中，完成了包括其近復曲面的剛性研究、其具有平行第二基本形式拉格朗日子流形的完全分類、其迷向拉格朗日子流形的完全分類、其具有典型性質的超曲面的完全分類等多項工作。（5）在復射影空間CP^n子流形研究中，對具有等變CR極小三維球面的浸入進行了完全分類；特別地，對復射影空間CP^3中具有等變極小性質的三維球面進行了刻劃。（6）在黎曼流形研究中，對廣義m-擬愛因斯坦流形在平行利奇張量或常數量曲率條件下進行了分類、研究了平行Cotton張量流形和一些特殊的“收縮型孤子”流形的剛性等。（7）本項目執行期間，主持人在李安民院士領導下，會同Udo Simon教授和趙國松教授完成了學術著作《Global affine differential geometry of hypersurfaces》（第二版）並由De Gruyter出版社於2015年7月正式出版發行，此書的出版適時總結了最近二十年來仿射微分幾何領域的重要進展，對國際上仿射微分幾何的研究起到重要的推動作用。
