基本介紹
- 中文名：基本幾何圖形
- 適用領域：數學幾何
- 所屬學科：數學
- 類型：三角形、四邊形、圓形等
定義,性質,線,角,三角形,四邊形,圓形,全等判定,相似判定,
定義
簡單的平面幾何圖形稱為基本幾何圖形。
性質
線
"線"的基本類型
直線、射線、線段
線段：兩端都有端點，不可延長。
射線：由線段的一端無限延長所形成的直的線
直線：兩端沒有端點並向兩端無限延伸的線
線與線之間的關係
平行：兩條直線在同一平面內沒有任何公共點(或不相交)
如圖“三線八角”中，∠1是∠5的同位角，∠3是∠5的內錯角，∠4是∠5的同旁內角。
相交：兩條直線在同一平面內有公共點。
平行線的性質
三線八角
(1)兩直線平行，同位角相等
(2)兩直線平行，內錯角相等
(3)兩直線平行，同旁內角互補
(4)過一點外，有且只有一條直線與其平行
平行線的判定
(1)同位角相等，兩直線平行
(2)內錯角相等，兩直線平行
(3)同旁內角互補，兩直線平行
角
"角"的不同定義
基本定義：由兩條有公共端點的射線組成的幾何對象
幾種角
銳角：小於90°的角
直角：等於90°的角
鈍角：大於90°的角
平角：等於180°的角
周角：等於360°的角
三角形
不同三角形的定義
基本定義：由三個不在同一條直線上的點首尾依次相連所得到的封閉圖形是三角形
等腰三角形：至少有兩條邊相等的三角形。
三種三角形(銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形)
等邊三角形：三條邊都相等的三角形
不同三角形的性質
等腰三角形：
等腰三角形
(1)等腰三角形的底角相等。
推導：過A點作BC邊上的高AD
∵△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
又∵AD是BC邊上的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AD=AD
∴△ABD≌△ADC
∴∠ABC=∠ACB
結論：等腰三角形的兩個底角相等
推論：如果一個三角形兩條邊相等，那么這兩條邊與第三邊的夾角也相等。(等邊對等角，等角對等邊)
-
推導：過A點作BC邊上的高AD
易證△ABD≌△ADC(過程略)
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD
∴AD是BC的中線、∠BAC的角平分線
-
直角三角形：
直角三角形
(1)直角三角形的兩個銳角互余。
(2)直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，表達式為a+b=c。(勾股定理)
加菲爾德證法示意圖
四邊形
不同四邊形的定義
四邊形
基本定義：由不在同一直線上的四條線段依次首尾相接圍成的封閉的平面圖形或立體圖形叫四邊形。
平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
矩形：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。
菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
正方形：有一組鄰邊相等並且有一角是直角的平行四邊形叫做正方形。
不同四邊形的性質
平行四邊形：
平行四邊形
(1)平行四邊形的對角相等
推導：連線AC、BD。
在▱ABCD中
∴AB//CD AD//BC
∴∠ABD=∠BDC，∠BAC=∠ACD
∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠CBD
∴∠ADB+∠BDC=∠ABD+∠DBC
∠DAC+∠BAC=∠BCA+∠ACD
即：∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠BCD
結論：平行四邊形的對角相等。
-
(2)平行四邊形的對邊相等
推導：連線AC
易證△ABC≌△ADC(ASA)
∴AB=CD
同理可證AD=BC
結論：平行四邊形的對邊相等
-
(3)平行四邊形的對角線互相平分
推導：連線AC、BD。
易證△ABO≌△CDO，△ADO≌△BCO
∴AO=CO，BO=DO
結論：平行四邊形的對角線互相平分
-
菱形：
菱形
(1)菱形具有平行四邊形所有性質。
(2)菱形的四條邊相等
推導：∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=CD，AD=BC(菱形對邊相等) 且 CD=AD，BC=AB(菱形的一組鄰邊相等)
即：其四條邊都相等
結論：菱形的四條邊相等
(3)菱形的對角線互相垂直
推導：∵四邊形ABCD是菱形
∴AD=AB，DO=BO
∴△ABD是等腰三角形
∴BD⊥AC
結論：菱形的對角線互相垂直
-
矩形：
矩形
(1)矩形具有平行四邊形所有性質。
(2)矩形的四個角都是直角。
推導：∵四邊形ABCD是矩形
∴∠A=∠C，∠B=∠D
又∵∠A=90°
∴∠C=90°
∵∠B+∠D=1/2 360°=180°
∴∠B=∠D=180°/2=90°
結論：矩形的四個角都是直角
-
(3)矩形的對角線相等。
推導：在矩形ABCD中
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC
又∵DC=CD
∴△ADC≌△BCD
∴AC=BD
結論：矩形的對角線相等
(4)矩形所在平面內任一點到其兩對角線端點的距離的平方和相等。
圓形
定義：在同一平面內到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓。這個定點叫做圓的圓心。圓形一周的長度，就是圓的周長。能夠重合的兩個圓叫等圓，等圓有無數條對稱軸。圓是一個正n邊形(n為無限大的正整數)，邊長無限接近0但永遠無法等於0。
圓形
性質：
②在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應的其餘各組量都分別相等。
③在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半(圓周角與圓心角在弦的同側)。
④如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。
全等判定
全等多邊形
概念：全等多邊形的對應邊、對應角相等。
判定：對應邊、對應角分別相等的兩個多邊形全等。
全等三角形
(1)三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）
(2)兩邊及其夾角相等的兩個三角形全等（SAS）
(3)兩角及其夾邊相等的兩個三角形全等（ASA）
(4)兩角及其一組對角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）
(5)斜邊及其一直角邊相等的兩個直角三角形全等（HL）
相似判定
相似多邊形
概念：相似多邊形的對應邊成比例、對應角相等。
判定：對應邊成比例、對應角相等的兩個多邊形相似。
相似三角形
判定：
(1)三邊成比例的兩個三角形相似。
(2)兩角分別相等的兩個三角形相似。
(3)兩邊成比例及其夾角相等的兩個三角形相似。
