基本介紹
- 中文名：球面圖形
- 外文名：spherical figure
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：球面幾何
- 概念：所有點都在同一球面上的幾何圖形
- 舉例：球面大圓、小圓、球面多邊形等
基本介紹,球面圖形的基本元素,其他球面圖形及性質,
基本介紹
與空間一點O有等距離R的點的全體，叫做球面。所有點都在同一球面上的圖形，叫做球面圖形。
點O叫做球心，距離R叫做球的半徑，兩端點在球面上的線段，叫做球的弦。過球心的弦，叫做球的直徑，直徑的兩端點，叫做對徑點。
球面圖形的基本元素
用一平面去截球面，如果平面經過球心，那么，球面與平面的公共部分叫做大圓。如果平面不經過球心又與球面相交，那么，球面與平面的公共部分叫做小圓。
大圓與球面上的點是球面圖形的基本元素，它與平面圖形的點和直線相當，點與大圓有如下的關係。
1)通過任意給定的不是對徑的球面兩點有一大圓。
2)通過任意給定的不是對徑的球面兩點至多有一大圓。
3)若C1與C2是球面上任意兩個大圓，至少有一點是它們的交點。
4)每一大圓至少包含三個點。
5)若C是任一大圓，球面上至少有一點不屬於大圓C。
6)在球面上至少有一個大圓。
以上六個關係，如果不藉助球面外的任一點(如球心)可以把它們作為公理看待，如果藉助於球面外的任一點 (如球心)，則以上關係可以證明，例如關係(3)，過球心O的任意兩平面有公共點O，因而有公共直徑的兩端點，於是任意兩個大圓都通過它們公共直徑的對徑點。即是說在球面上沒有不相交的兩個大圓，現在利用球心來研究球面圖形。
其他球面圖形及性質
定義2過球心的兩射線與球面相交於兩點A、B，兩點A、B與∠AOB內部的大圓部分叫做大圓的劣弧。除劣弧外的大圓部分叫做這大圓的優弧。顯然劣弧小於半大圓。
定義3用大圓劣弧連線不在同一大圓上的球面三點A,B，C得一球面圖形，叫做球面三角形。如圖1三點A、B、C叫做球面三角形的頂點，劣弧
叫做球面三角形的邊，有公共頂點的兩邊組成的角，叫做球面三角形的角，它的大小等於過頂點而切於兩弧的切線夾角。
圖1
與球面三角形相對應的有一個三面角。
如圖2，從球心O經球面三角形的三頂點A、B、C引射線，得到一個以球心為頂點的三面角O-ABC，這個三面角叫做球心三面角，三面角的三個面角對應於球面三角形的三邊，三面角的三個二面角對應於球面三角形的三內角。
圖2
定義4 垂直於大圓所在平面的直徑的兩個端點，叫做這個大圓的極.
從定義4看出，大圓上任一點與它的極之間的大圓部分是這個大圓的1/4。
設有球面三角形ABC，如圖3；邊的極分別為C'，A'，B'，且點A’，A在
的同側，點B'、B在
的同側， 點C'、C在
的同側， 則球面三角形A'B'C'叫做球面三角形ABC的極三角形。
圖3
定理1 若球面三角形A'B'C' 是球面三角形ABC的極三角形，則球面三角形ABC也是球面三角形A'B'C'的極三角形。
證明: 如圖3。
(1)因為A'是 的極且與A在 的同側，所以
是大圓弧的，且
為劣弧。
(2)點B'是
的極且與B在 的同側，所以
是大圓弧的1/4，且
為劣弧。
由(1)、(2)知點C是
的極，且與C'在 的同側，同理點A是
的極，且與A'在 的同側。點B是
的極，且與B'在 的同側，故球面三角形ABC是球面三角形A'B'C'的極三角形。
(證畢)。
定理2 球面三角形的角與它的極三角形的對應邊，就度量來說，它們互補。
證明:如圖3,延長與使分別交於D、E，則球面角∠A與
的弧度數相同，要證明球面角∠A與邊 互補，只須證
1)∵
=大圓，
=1/4大圓
2)∴
=1/2大圓= 2直角
3)同理，球面角∠B與互補
球面角∠C與互補
(證畢)。
定理3 球面三角形三個內角的和，大於2直角而小於6直角。
證明: 設有球面三角形ABC，要證明∠A,∠B，∠C的和在2直角和6直角之間。
作球面三角形ABC的極三角形A'B'C'，則從定理2得:
1)∠A+= 2直角
∠B+= 2直角
∠C+= 2直角
2)以上三式兩邊分別相加得
∠A+∠B+∠C=6直角-(
)
3)由於0<<4直角
故：2直角<∠A+∠B+∠C<6直角。
(證畢)。
