基本介紹
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描述
在平面幾何中，基本的觀念是點和線。在球面上，點的觀念和定義依舊不變，但線不再是“直線”，而是兩點之間最短的距離，稱為測地線。在球面上，最短線是大圓的弧，所以平面幾何中的線在球面幾何中被大圓所取代。同樣的，在球面幾何中的角被定義在兩個大圓之間。結果是球面三角學和平常的三角學有諸多不同之處。例如：球面三角形的內角和大於180°。
對比於通過一個點至少有兩條平行線，甚至無窮多條平行線的雙曲面幾何學，通過特定的點沒有平行線的球面幾何學是橢圓幾何學中最簡單的模式。
螞蟻的發現
構想有一種生活在二維面上的扁平螞蟻，因為是二維生物，所以沒有第三維感覺。如果螞蟻生活在大平面上，就從實踐中創立歐氏幾何。如果它生活在一個球面上，就會創立一種三角和大於180度，圓周率小於3.14的球面幾何學。但是，如果螞蟻生活在一個很大的球面上，當它的“科學”還不夠發達，活動範圍還不夠大，它不足以發現球面的彎曲，它生活的小塊球面近似於平面，因此它將先創立歐氏幾何學。當它的“科學技術”發展起來時，它會發現三角和大於180度，圓周率小於3.14等“實驗事實”。如果螞蟻夠聰明，它會得到結論，它們的宇宙是一個彎曲的二維空間，當它把自己的“宇宙“測量遍了時，會得出結論，它們的宇宙是封閉的(繞一圈還會回到原地)，有限的，而且由於“空間”(曲面)的彎曲程度(曲率)處處相同，它們會將宇宙與自己的宇宙中的圓類比起來，認為宇宙是“圓形的”。由於沒有第三維感覺，所以它無法想像，它們的宇宙是怎樣彎曲成一個球的，更無法想像它們這個“無邊無際”的宇宙是存在於一個三維平直空間中的有限面積的球面。它們很難回答“宇宙外面是什麼”這類問題。因為，它們的宇宙是有限無邊的封閉的二維空間，很難形成“外面”這一概念。
對於螞蟻必須藉助“發達的科技”才能發現的抽象的事實，一隻蜜蜂卻可以很容易憑直觀形象的描述出來。因為蜜蜂是三維空間的生物，對於嵌在三維空間的二維曲面是“一目了然”的，也很容易形成球面的概念。螞蟻憑藉自己的“科學技術”得到了同樣的結論，卻很不形象，是嚴格數學化的。
由此可見，並不是只有高維空間的生物才能發現低維空間的情況，聰明的螞蟻一樣可以發現球面的彎曲，並最終建立起完善的球面幾何學，其認識深度並不比蜜蜂差多少。
