基本介紹
- 中文名：二維基本形
- 外文名：two-dimensional fundamental forms
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：高等幾何(仿射幾何)
- 簡介：點場與線場的統稱
基本概念,二維射影變換,
基本概念
在射影幾何中，所有幾何圖形都是由以下的基本形構成：
定義1 屬於一條直線
的所有點A，B，C，……的集合，稱為以 為底的點列。記作
定義2 一個平面上經過一點P的所有直線a，b，c，……的集合，稱為以P為中心的線束。記作
定義3 屬於一個平面
的所有直線A，B，C，……的集合，稱為以 為底的點場。記作
定義4 屬於一個平面 的所有直線a，b，c，……的集合，稱為以 為底的線場。記作
點列的點，線束的直線，其自由度均為1，故稱點列和線束為一維基本形。同理，點場和線場稱為二維基本形。也常把以 為底的點場和線場合稱為點線場。
二維射影變換
一維基本形的透視對應、射影對應，可推廣到二維基本形中，對點線場進行類似的討論。
其實若將點列、線束視為射影平面(二維射影空間)的子空間，則一維基本形的射影對應是平面到自身的元素間的對應，即二維的射影變換。
因此，二維射影變換是點線場的元素間的一一對應，且經變換四元素的交比不變。
其中將點變成點，直線變成直線的變換保同素性，稱為同素變換或直射變換，否則，稱為對射變換。
定義1 二平面的點之間的透視對應就是二平面之間點的一一對應，使得對應點的連線共點，如圖1。
圖1 二維射影變換
定義2 兩個平面間的一一對應，如果滿足下列條件：
(1)保持點和直線的結合性；
(2)任何共線四點的交比等於其對應四點的交比，則此一一對應叫做射影對應。
同樣可以給出兩個平面間的直線間的射影對應的定義。
兩個平面的點之間或直線之間的射影對應是同素對應(點對應點從而直線對應直線，或直線對應直線從而點對應點)，通常我們只討論點到點間的同素對應，由射影對應定義可以看到以下性質：
(1)兩平麵點之間的透視對應必是射影對應。
(2)若干次透視對應(透視鏈)的結果必為射影對應。
(3)兩平面間的射影對應是一種等價關係。
定義3 在定義2中，如果兩對應平面是重合的，則所建立的射影對應叫做該平面的射影變換。
我們所討論的射影對應和射影變換，一般都是同素的，簡稱為同素變換。
