直線形

直線形(rectilinear figure)是一類簡單的幾何圖形，指由直線、射線、線段組成的圖形，直線形常把它所劃分的內部區域包括在內。

基本介紹

• 中文名：直線形
• 外文名：rectilinear figure
• 所屬學科：數學（平面幾何）
• 簡介：由直線、射線、線段組成的圖形
• 性質：一類簡單的幾何圖形

基本介紹

按照不同的標準對這些圖形進行分類。從維數的角度來分類，一維圖形有點、線段、射線、直線等，二維圖形有角、相交線、平行線、三角形、四邊形等，三維圖形有柱、錐、球等。對於平面圖形而言，還可以按直線形和曲線形來劃分，直線形主要有直線、角、三角形、四邊形等，曲線形主要是以圓為代表。直線形的基礎知識即有關圖形如直線、角、平行線、三角形、四邊形的概念、定理、性質等。

從學科角度來認識直線形

人類對形的認識，最初是對物體形狀的認識，而後發展為對空間性質的認識，進而深化為對抽象的、一般空間形式的研究。這是一個從簡單到複雜、從現象到本質的辯證發展過程。

形概念的產生

物體的形狀、大小和位置關係是客觀存在的。人們對物體形狀的認識出自於實踐活動的需要。人類對圖形的抽象的第一步是描繪物體的外部形象，其核心是把三維空間的物體轉化為線條描繪在二維平面上。後來，人們用抽象的幾何圖形來記述事情和傳遞信息，這便是象形文字的前身。古希臘哲學家泰勒斯在圖形描述的基礎上開創了幾何學的抽象，據史料記載，泰勒斯發現了下述幾何命題並給以證明:等腰三角形的兩個底角相等;兩直線相交對頂角相等；“角、邊、角”對應相等的兩個三角形全等。這些命題在我們現在的幾何課程中依然是重要的內容。

在幾何上，“形”作為一種抽象的形式，拋棄了物體的顏色、重量、組成等屬性，只從形狀、位置的角度抽象地研究圖形。所以，現實世界物體間的關係，反映到幾何學中只剩下抽象的圖形之間的位置關係和數量關係。從某種意義上說，當具體物體抽象為一般物體來研究時，才真正有了抽象的形的概念，才算有了真正意義上的幾何學。

幾何學的發展

圖形成為數學研究對象的真正動力是土地測量等生產實踐。相傳4000年前，埃及的尼羅河每年洪水泛濫，總是把兩岸的土地淹沒，水退後，使土地的界線不分明。當時埃及人為了重新測出被洪水淹沒的土地的地界，每年總要進行土地測量，因此，積累了許多有效的計算土地面積的方法，其中包括計算三角形、長方形、梯形的面積等。後來，希臘人由於跟埃及人通商，從埃及那裡學到了測量與繪畫等幾何初步知識。希臘人在這些幾何初步知識的基礎上，逐步充實並提高成為一門完整的幾何學。英文“geometry"(幾何)一詞源於古希臘語γεωμετρια，就是土地測量的意思，因為這個詞是由γμ(土地)和μετρτα(測量)複合而成的。

概括起來，幾何學的發展大致經歷了四個基本階段。

(1)實驗幾何的產生和發展

幾何學最早產生於對天空星體形狀、排列位置的觀察，產生的真正動力在於丈量土地、測量容積、製造器皿與繪製圖形等實踐活動的需要，人們在觀察、實踐、實驗的基礎上積累了豐富的幾何經驗，形成了一~批粗略的概念，反映了某些經驗事實之間的聯繫，形成了實驗幾何。古代中國、古埃及、古印度、古巴比倫所研究的幾何，大體上就是實驗幾何的內容。

(2)歐氏幾何的產生和發展

隨著古埃及、古希臘之間貿易與文化的交流，古埃及的幾何知識逐漸傳入古希臘。古希臘許多數學家，如泰勒斯、畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里得等人都對幾何學的研究做出了重大貢獻，特別是柏拉圖把邏輯學的思想方法引人幾何學，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎。而後歐幾里得將公元前7世紀以來古希臘幾何積累起來的豐富成果整理成一個嚴密的邏輯系統，使幾何學成為一門獨立的、演繹的科學，完成了《幾何原本》一書，奠定了歐氏幾何(又稱推理幾何、演繹幾何、公理幾何、理論幾何等)的基礎，成為歷史上久負盛名的巨著。《幾何原本)運用的公理化方法不僅為數學家提供了使其研究工作嚴謹化的工具，也為其他科學家的研究提供了可借鑑的方法，因此它作為數學史乃至科學史上的一個里程碑，標誌著人類思維的一場革命。直到19世紀末，在數學界，歐氏幾何與幾何學仍然是同義詞。同時，《幾何原本》作為人們學習幾何的標準教材長達2000年之久。

(3)解析幾何的產生與發展

《幾何原本》的出現為理論幾何奠定了基礎。與此同時，人們對圓錐曲線也作了一定研究，發現了圓錐曲線的許多性質。法國笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現了點與數的對應，從而開闢了用數量計算來刻畫圖形性質的新途徑。解析幾何學的出現，大大拓寬了幾何學的研究內容，並且促進了幾何學的進-步發展。18-19世紀，由於工程、力學和大地測量等方面的需要，又進一步產生了畫法幾何、射影幾何、仿射幾何和微分幾何等幾何學的分支。

(4)現代幾何的產生與發展

在歐氏幾何與解析幾何的發展過程中，人們不斷發現《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密，並不斷地充實一些公理，特別是在嘗試用其他公理、公設證明第五公設“一條直線與另外兩條直線相交，同側的內角和小於兩直角時，這兩條直線就在這一側相交”的失敗，促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎，並取得了兩方面的突出研究成果。一方面，從改變幾何的公理系統出發，即用和歐氏幾何第五公設相矛盾的命題來代替第五公設，從而導致幾何學研究對象的根本突破。俄羅斯數學家羅巴切夫斯基用“在同一平面內，過直線外一點可作兩條直線平行於已知直線”代替第五公設，由此導出了一系列新結論，如“三角形內角和小於兩直角”、“不存在相似而不全等的三角形”，等等，後人稱為羅氏幾何學。德國數學家黎曼從另一角度，“在同一平面內，過直線外任一點不存在直線平行於已知直線”代替第五公設，同樣導致了一系列新理論，如“三角形內角和大於兩直角”、“所成三角形與球面三角形有相同面積公式”等，又得到另一種不同的幾何學，後人稱為黎氏幾何學。習慣上，人們將羅氏幾何、黎氏幾何統稱為非歐幾何學。

3.勾股定理——直線形研究的一個典範

從對直線形的研究來看，三角形的研究是最基本的。從邊和角來看，三角形內角和以及三角形的三邊關係也是最為重要的兩個定理，特別是描述直角三,角形三邊關係的勾股定理，它是平面幾何有關度量的最基本定理之一，而幾何發展史中對於它的研究與認識更是成為直線形的一個典範。古代幾乎所有文明的民族都研究了直角三角形，並且在許多古代文明的歷史文獻中都明確記載了與直角三角形勾股定理關係最密切的三個數值: 3、4、5。據說華羅庚先生曾建議，如果人類想弄清楚外星球上是否存在人，可以發射一種表達勾股定理含義的圖形，因為這個圖形代表的是人類的文明程度，外星人如果具有一定的文明程度，他們一定會認識這個圖形。

在我國，關於勾股定理的相關論述最早記載於《周髀算經》里，將一根直尺折成一個直角，若“勾廣三，股修四，則徑隅五”。三國時代的趙爽對這個問題給出了一般性的結果並給出了證明，這就是著名的“勾三股四弦五”的勾股定理。古希臘畢達哥拉斯學派也發現了直角三角形的這個性質，正是在利用這個性質求正方形對角線長時，畢達哥拉斯學派發現了無理數。另外，人們發現，在尼羅河三角洲，約公元前2000年的Kahun草紙書上寫有這樣的問題:將一個面積為100的大正方形分為兩個小正方形，一個邊長為另一個邊長的3/4。這個問題的答案恰好是一組勾股數6、8、10。這表明，古埃及人清楚地知道直角三角形以及勾股定理。而古巴比倫與直角三角形的淵源，可以從美國哥倫比亞大學收藏的泥板中找到線索。這塊泥板是在巴比倫挖掘出來的，約製作於公元前18世紀，泥板上有三列數字，而這三列數字恰恰是一組勾股數字！