非線性H∞控制（Nonlinear H∞ control）源於20世紀80年代發展起來的線性H∞控制理論。鑒於非線性系統的多樣性和複雜性，線性H∞控制的許多分析方法不易直接利用。主要的研究方法是利用微分對策的觀點，將非線性H∞控制問題化為HJI(Hamilton-Jacobi-Isaacs)方程(或不等式)的求解問題。由於對一般非線性系統，HJI方程(不等式)的求解甚至解的存在性問題都不易解決，只對一些特殊的非線性系統得到較為具體的設計方法。非線性H∞控制有廣泛的套用背景。
基本介紹
- 中文名：非線性H∞控制
- 外文名：Nonlinear H∞ control
- 涉及學科：信息科學
- 別名：L2增益的控制
- 研究方法：HJI方程
- 缺點：存在性問題都不易解決
背景,簡介,非線性控制方法回顧,古典方法,李亞普諾夫方法,變結構方法,微分幾何和微分代數方法,非線性H∞控制理論,SOS法,非線性H∞可靠控制,非線性H∞控制器的參數化,非標準非線性H∞控制,發展,
背景
近年來，非線性控制越來越受到人們的重視，數學中的非線性分析、非線性泛函，物理學中的非線性動力學等，發展都很迅速。與此同時，非線性控制理論也得到了蓬勃的發展。事實上，實際系統常常是非線性的，線性僅是非線性的簡化和近似。非線性控制理論的發展源自實踐的需要，特別是高技術科學對精確度的要求，使得傳統的線性近似方法難以解決問題。
在實際系統中，被控對象往往伴隨著各種各樣的不確定性，因此人們只能基於近似描述被控對象的標稱數學模型來設計控制系統。所謂魯棒性，是指系統預期的設計品質不因不確定項的存在而遭到破壞的特性。魯棒控制對於非線性系統理論而言是一個重要的課題，而非線性H一控制理論則是解決非線性系統魯棒控制最系統化的方法之一。
簡介
一種抑制外部干擾的非線性系統控制方法。這種新方法是20世紀90年代興起的。考慮如下系統：
其中x是狀態變數，y是量測輸出變數，z是調節輸出變數，w是外部信號(可以是干擾信號)，u是控制變數，f是非線性向量場，h1，h2皆為非線性向量函式.所謂非線性H∞控制問題乃是要求找到(設計)控制函式u(·)(可以是狀態x的函式，也可以是量測輸出y的函式)，使得在u(·)的作用下有：
1.當w=0時，閉環系統x·=f(x，u(·)，0)漸近穩定;
2.存在γ>0，使得當x(0)=0時，L2增益不等式成立，ᗄt>0.
非線性H∞控制源於20世紀80年代發展起來的線性H∞控制理論。鑒於非線性系統的多樣性和複雜性，線性H∞控制的許多分析方法不易直接利用。主要的研究方法是利用微分對策的觀點，將非線性H∞控制問題化為HJI(Hamilton-Jacobi-Isaacs)方程(或不等式)的求解問題。由於對一般非線性系統，HJI方程(不等式)的求解甚至解的存在性問題都不易解決，只對一些特殊的非線性系統得到較為具體的設計方法。非線性H∞控制有廣泛的套用背景。
非線性控制方法回顧
古典方法
針對特殊系統發展了以下三種理論:
1)主要針對二階系統發展了相平面方法性
2)針對含有一個非線性元件的高階系統發展了描述函式法”這一近似方法;
3)針對含有一個非線性元件的系統，稱為Lure系統代由李亞普諾夫理論發展出絕對穩定性理論。
李亞普諾夫方法
這一方法是迄今最完善和最一般的非線性方法。正是由於這種一般性，無論用來分析穩定性或用來鎮定綜合，都缺乏構造性。
變結構方法
嚴格說，變結構控制應稱為具有滑動模態的變結構控制。這是20世紀50年代發展起來的一種方法，由於滑動模態具有對干擾和攝動的不變性，到80年代已逐漸受到重視。它是一種實用的非線性控制綜合方法，可以賦予系統各種良好的性能和品質。但變結構控制會產生料振”，這一本質問題迄今還沒有完全解決。
微分幾何和微分代數方法
從70年代開始發展起來的微分幾何和微分代數方法，為非線性系統的控制理論找到了一種合適的工具，從而大大促進了非線性控制理論的發展，形成了從理論到套用的一次飛躍。近年發展起來的Back stepping方法等是在非線性標準形下進行的，可以看作是幾何方法的間接套用。
在經歷了1/ 4世紀的發展與繁榮之後，幾何方法似乎進入了蕭條時期，突破性的工作明顯減少，微分幾何方法的一些局限性也越來越明顯地暴露出來。
非線性H∞控制理論
非線性H∞控制是近年來十分熱門的一個研究方向，並涉及到工程控制中的擾動衰減等問題。實際上，由於一些限制(如不確定性的種類，控制的增益等)的影響，使得在一些具體問題中對系統的不確定性難以實現干擾解禍，或用匹配及其推廣條件來消除干擾，以保證系統穩定。因此，一種現實的提法是通過控制使得所需調整的輸出量儘可能對干擾信號不敏感，這就是非線性H一控制擾動衰減的基本思想。
考慮如下仿射非線性系統
定義1、線性H∞問題是對系統尋找最小的正數ζ，設計一個控制器(如果狀態可測量)
或(如果狀態不能直接得到)
使得:
1)擾動衰減
2)內部穩定:當ω= o時，該控制器能使相應的閉環系統漸近穩定。
Van der Schaft等人對非線性系統H∞理論的發展做出了重要貢獻。運用辛幾何和動態耗散理論，給出了一種解決非線性H∞狀態反饋控制的方法，即把問題歸結為Hamilton Jacobi方程的可解性，這類似於線性系統H∞理論中的Riccati方程。而Hamilton Jacobi方程的解與Hamilton向量場的不變流形的存在性有關，在Hamilton系統具有一定條件及雙曲平衡點的假設下，其解便與非線性系統線性化後的系統有關。
Isidoori等提出了解決非線性H∞控制問題的微分對策框架，指出了輸出反饋控制器的存在與一對禍合的Hamilton Jaoobi方程的光滑正定解有關。其後，Isidoori基於對策論的框架，給出了符合分離原理的輸出反饋控制器存在的條件。Lin等研究了離散非線性系統的H∞控制問題。Pavel等給出了實現非線性H∞控制的條件及控制器參數化的J 耗散描述方法。
以上都是針對確定性系統而言。對於系統不確定性的描述，通常有有界範數型、積分型、耗散型和微分包含型4種。Yang等研究了有界範數型不確定非線性系統。Nguang研究了積分型不確定非線性系統。
SOS法
L2增益的控制問題，習慣上也稱為非線性H∞控制。這是因為H∞範數雖是線上性系統的傳遞函式上定義的，不過如果轉換到時域上來考慮，這H∞範數就是L2誘導範數，而在非線性系統中則稱之為L2增益。L2增益的控制是指以L2增益作為系統設計時的性能指標，使之儘可能小。本文研究的是以L2增益為性能指標的非線性狀態反饋律的設計。
非線性H∞控制雖然在理論上可以用Hamilton-Jacobi-Issacs ( HJI)不等式來求解，但HJI不等式還沒有一個有效的解析求解的方法。近年來出現的SOS方法，為求解非線性H二控制問題提供了一個新的可能途徑。SOS是平方和(sum ofsquares)的縮寫。SOS法是指採用SOS多項式來研究非線性系統。除了對象本身的非線性特性，如果想採用高於二次型的Lyapunov函式，或者想設計高階次的非線性控制律，就得研究一般形式的多項式。如果相應的系統的多項式可整理成SOS形式，那就一定是非負的。這個方法雖然才問世不久，但已經在一些重要的套用領域顯現出了其優越性。
例如非線性系統吸引域的估計，大機動下的衛星姿態控制，飛機的姿態控制，非線性模型預測控制，時滯系統的穩定性分析，等等。在非線J險H∞控制方面也提出了一些採用SOS的設計方法。但這些方法在套用中都存在一些問題。
非線性H∞可靠控制
關於提高系統工作可靠性的理論，一直是工程控制學科的中心研究課題之一。VBillet等給出了基於Riccati方程的線性H∞理論的設計方法，使得當有控制元件失效時，閉環系統仍漸近穩定且增益有限。最近，基於非線性H∞理論，把線性系統的結果推廣到非線性系統。其中，Y an等研究了具有嚴格冗餘控制元件的非線性系統的H∞可靠控制問題，基於Hamilton-Jacobi不等式，給出了輸出反饋可靠控制器的設計算法。
閉環系統是H∞可靠的，是指不僅當所有的執行機構和感測器均正常工作時，而且當有執行機構或感測器失效時，閉環系統仍漸近穩定且L2增益有限。缺點是只能有一個控制元件失效，優點是無須知道失效域。L iu等研究了不確定非線性系統的可靠控制問題，所提供的方法可以有多個控制元件失效，但是必須知道失效域。L iu等基於複製控制元件，研究了非線性系統的可靠控制問題，該方法的優點是可以有多個控制元件失效而無須知道失效域。
非線性H∞控制器的參數化
通常在設計控制系統時，除了強調系統內部穩定和擾動衰減外，還有其它設計目標需要滿足。解決這些複雜控制問題的方法之一是尋找控制器的集合，使得除能解決非線性H∞控制問題外，還能滿足其它設計目標，因此控制器的參數化便引起人們的關注。
Isidiori等給出了一簇狀態反饋控制器，但事實上需要全信息(既有狀態，又有擾動)。Yung等推廣的結果，基於輸出反饋提供了一簇非線性H∞控制器。Lu等和A stolfi得到了一簇非線性H∞輸出反饋控制器。Lu等對這一問題的處理用到了類似於線性情形的思想。A stolfi提供的方法沒有給出需滿足的兩個輸出in j ect ion main陣的明確表示，並且Hamilton Jacobi方程中涉及2n個獨立變數，是狀態的二倍。Yung等推廣的結果，在兩個需要滿足的Hamilton-Jacobi不等式中只有n個獨立變數，通過與漸近穩定且L2增益有限的中央控制器相聯繫而得到一簇控制器，證明也顯得較為簡單。Yang等進一步研究了狀態反饋控制器的參數化問題，在該方法中不需要全信息。
非標準非線性H∞控制
奇異非線性H∞控制通常是指系統中
，
不滿秩時的控制。A stolfi研究了 不滿秩的情況，運用微分同胚變換得到一個幾乎處處解禍問題，進而得到實現非線性H∞控制的充分條件。Lee等研究了 ，不滿秩的情況，並將通常要求Hamilton Jacobi方程有正定解減弱為有半正定解。用無損分解技術研究了不滿秩的情況及控制器的降階問題。L ink研究了非線性系統的
混合控制問題。
發展
需要進一步研究的幾個問題
非線性系統缺乏疊加原理這樣一類線性性質，其複雜性遠遠超過線性系統的複雜性。線性系統研究中的一些一般性結論對非線性系統來說是不存在的，因此非線性系統的研究只能針對其自身特點尋求解決方法，才有可能得出一些具有公共性質的結論。
當前非線性H∞理論應在以下幾個問題上開展深入研究：
1) Hamilton Jacobi方程已有一些近似解法，但還非常粗糙，如算法複雜，沒有給出近似程度的嚴格分析。
2)在H∞幾乎處處擾動解禍設計中，控制器的設計雖然具有構造性，但這種設計方法導致增益較高，結構複雜。
3)非線性H∞可靠控制器的參數化是一個複雜的控制問題，也是需要深入研究的實際問題。
4)在一些非線性H∞控制方法中，大都需要滿足一定的光滑性條件，且控制無約束。在實際工程中，許多系統是非光滑的，且控制是有約束的。在這種情況下，應研究如何進行非線性H∞控制。
5)尋求避開非線性H∞控制存在的缺陷，研究全新的非線性H∞控制方法。
