《幾類動力學模型的穩定性及分岔問題》是依託北京科技大學，由儲繼迅擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：幾類動力學模型的穩定性及分岔問題
- 依託單位：北京科技大學
- 項目負責人：儲繼迅
- 項目類別：數學天元基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究非線性Korteweg-de Vries方程的穩定性及結構種群模型的分岔問題。所考慮的Korteweg-de Vries模型是作用在臨界區域上的非線性系統，它在零平衡態附近的線性化系統不具有局部漸近穩定性。本項目研究整個非線性系統零解的穩定性，並在右端邊界上引入一個控制項，進一步討論零解的鎮定性問題。另一方面，考慮更符合實際意義的具有非線性邊值條件的結構種群動力學模型。通過擴大相空間的辦法將原模型轉化為非稠定的柯西問題, 從而使對模型解的動力學性質的分析自然地納入到非稠定柯西問題的理論框架下。利用對非稠定柯西問題建立的Hopf分岔定理及正規型理論研究結構種群模型Hopf分岔的存在性及Hopf分岔周期解的穩定性。利用積分半群的理論, 發展非稠定柯西問題在分岔方面的相關理論，力求給出相應的 Bogdanov-Taken分岔及對稱分岔定理，並套用到具體的種群模型中。
結題摘要
本項目研究了兩方面問題，一方面是臨界區間上非線性Korteweg-de Vries方程的穩定性；另一方面是非稠定Cauchy問題的對稱性分岔及其在種群結構模型中的套用。已完成對一類臨界區間長度上非線性Korteweg-de Vries方程的穩定性的討論，得到零解的局部漸近穩定性。本項目首先對原系統做了適當的變形，證明修正後系統解的全局存在唯一性，並由此解定義一個半群。通過對此半群的具體分析，得到原系統中心流形的存在性及光滑性。最後通過對中心流形上約化方程的動力學分析，證明了原非線性系統零解的局部漸近穩定性。所考慮的這類Korteweg-de Vries模型在零平衡態附近的線性化系統不具有漸近穩定性，但整個非線性系統的零解具有局部漸近穩定性。這一部分研究從穩定性的角度刻畫了非線性項對整個非線性系統的影響。種群的年齡結構模型及大小結構模型周期解的存在性具有重要的意義，年齡結構及大小結構模型的分岔問題引起了人們的廣泛關注，但此類模型往往帶有非線性的邊值條件，給研究帶來了一定的困難。通過擴大相空間的辦法，可將此類問題化為一個非稠定的Cauchy問題來考慮。目前文獻中僅存在非稠定Cauchy問題的Hopf分岔定理，並沒有建立起其他的分岔理論。本項目已經對一類特定的非稠定Cauchy問題建立了對稱性分岔理論，需進一步將其一般化，並在具體的種群結構模型中加以套用。
