幾類非線性模型的定性分析

《幾類非線性模型的定性分析》是依託北京科技大學，由儲繼迅擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：幾類非線性模型的定性分析
• 依託單位：北京科技大學
• 項目負責人：儲繼迅
• 項目類別：青年科學基金項目

項目摘要

本項目主要研究具有非線性邊值條件的多種群結構模型和一類非線性KdV方程的穩定性及相關問題。通過擴大相空間的辦法可將具有非線性邊值條件的種群結構模型轉化為非稠定的柯西問題。本項目將利用積分半群理論建立非稠定柯西問題的對稱性分岔定理，並將其套用於具有單一結構變數的多種群模型上，給出模型在分岔方面的新結果。傳統的具有結構變數的傳染病模型僅考慮一種年齡結構因素。本項目將建立一般的既有年齡結構又有病程結構的傳染病模型，考慮模型解的適定性，有病平衡態的存在性和穩定性，一致持久性，吸引子的存在性及分岔問題等。特別地，分析新引入的結構變數對系統穩定性，分岔及疾病傳播方面的影響。此外，研究一類臨界區間上非線性KdV方程零解的穩定性及鎮定性。

結題摘要

本項目主要研究了具有非線性邊值條件的種群結構模型和一類非線性Korteweg–de Vries (KdV)方程的穩定性及相關問題。 年齡結構和大小結構模型中分岔周期解的存在性及穩定性是一個很有意義的問題，它反映了種群密度隨時間的周期性變化，但由於模型常具有非線性非局部的邊值條件，這為數學理論方面的研究提出了挑戰。通過擴大相空間的辦法，本項目將一類年齡結構模型和一類大小結構模型轉化為非稠定的Cauchy問題，並利用非稠定半線性Cauchy問題的正規型理論計算了這兩類種群結構模型的正規型，並給出判斷其Hopf分岔周期解穩定性和分岔方向的條件。 KdV方程被廣泛用於模擬淺水波的運動，本項目考慮了一類有限區間上的非線性KdV方程。當有限區間不屬於某種臨界集合時，其線性化系統是指數漸近穩定的，從而整個非線性系統也具有局部漸近穩定性。當有限區間是某一臨界長度時，其線性化系統不再具有局部漸近穩定性，此時不可避免要直接對非線性系統進行研究，而不能僅僅依賴線性化系統。對此類問題的研究具有重要的意義，它能夠體現出非線性項對整個非線性系統穩定性的影響，這也是關於KdV系統的重要問題之一。針對某一類特殊的臨界區間長度，本項目一方面計算了模型在中心流形上約化方程的正規形，另一方面結合中心流形構造Lyapunov函式，從兩個角度證明零解的局部漸近穩定性，並估計出解的衰減速度。考慮此類非線性KdV方程的線性化方程所對應的運算元，通過對該運算元預解式進行估計，得到該運算元生成的線性半群具有Gevrey正則性。 此外，本項目還討論了一類非線性守恆律方程的狀態能控性和節點能控性，問題的背景來自半導體生產系統，其生產過程具有多重入複雜製造的特點。模型考慮了更具有實際意義的一般情形，即速度項不僅依賴於非局部項，也依賴於局部變數。首先得到一類相關的線性系統的能控性，再利用線性疊代和不動點定理，最終得到了局部的狀態能控性和節點能控性結果。