《擬線性Schrödinger型方程的適定性和爆破性》是依託華南理工大學，由李用聲擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：擬線性Schrödinger型方程的適定性和爆破性
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李用聲
- 依託單位：華南理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
導數Schrödinger方程和Davey-Stewartson 型方程組都是電漿物理等領域中的重要模型，有重要的物理和數學性質。本項目擬運用偏微分方程、調和分析、泛函分析、變分方法的理論研究這兩類模型的適定性，孤立波的穩定性，爆破解的動力學性質，特別是適定性和爆破性的臨界質量閥值和爆破解的精確輪廓（exact profiles）。主要內容包括.1. 擬運用變分法和調製穩定性理論，研究導數Schrödinger方程及其廣義型方程孤立波解的穩定性和不穩定性。.2. 擬運用Glassey方法，變分法及譜理論，研究導數Schrödinger方程及其廣義型方程爆破解的存在性，刻畫適定性和爆破性的臨界質量閥值。.3．擬運用變分法，集中緊原理和多尺度分析方法研究Davey-Stewartson方程爆破解的動力學性質；運用調和分析方法研究Davey-Stewartson方程的適定性理論。
結題摘要
導數非線性Schrödinger方程和Davey-Stewartson 型方程組都是電漿物理等領域中重要的非線性模型，有重要的物理和數學性質。在該項目執行期間我們研究了非線性Schrödinger方程和Davey-Stewartson方程組整體解的存在性和散射性、爆破解的動力學性質、低正則性解的無條件唯一性、導數非線性Schrödinger方程孤立波的穩定性理論。特別是關於導數非線性Schrödinger方程在孤立波的穩定性方面取得較大進展。早前人們已經知道導數非線性Schrödinger方程有一類雙參數的孤立波解，被證明非端點情形是穩定性的。但在端點情形（臨界、退化）情形，孤立波的穩定性一直以來是個懸而未決的問題。我們研究了孤立波的不穩定性，證明了臨界情形孤立波解的不穩定性；在端點情形，在去掉伸縮、平移和旋轉群後孤立波是穩定的;作為推論，如果端點情形孤立波不穩定，只可能是幾何不穩定；退化情形孤立波是不穩定的。結合前人工作，完整地建立了該方程孤立波的穩定性理論。我們還研究了高維粘性隨密度變化的Navier-Stokes方程的適定性。我們把Chemin，Gallapher等人提出的關於經典NS方程組的“非線性小”的概念套用到高維粘性隨密度變化的不可壓縮流體力學方程組，我們證明了方程在的整體適定性，後來還把這個研究推廣到了可壓縮流體力學方程組、MHD方程組。對於可壓縮2D無磁擴散的MHD方程組，我們證明了系統整體解的存在性並給出了解的最佳衰減估計。我們還研究了Boltzmann方程組的不可壓縮Euler極限問題。把光滑解在高階Sobolev空間中的極限問題(CPAM， 1989)推廣到L^2\cap L^\infty 弱解情形，去掉了關於餘項零初值的假設條件，建立了餘項的一致估計。除此之外，我們研究了廣義KdV方程、淺水波方程的初值問題和周期初值問題，得到了在低正則性空間中的適定性和正則性的臨界指標。
