《幾類非線性色散波方程的適定性和散射理論》是依託北京師範大學，由吳奕飛擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：幾類非線性色散波方程的適定性和散射理論
- 依託單位：北京師範大學
- 項目負責人：吳奕飛
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬運用調和分析，泛函分析工具研究一些具有重要數學物理意義的非線性色散方程和波動方程。內容主要涉及兩個方向：（1）運用Fourier限制模方法、I方法研究色散波方程的低正則性理論。特別地，通過開發I方法的一種修正技術和周期型雙線性Strichartz估計，研究周期型廣義KdV方程最佳的整體適定性和無條件唯一性，從而改進I-team的結論。（2）運用Profile分解（或集中緊方法）研究色散波方程的整體適定性，爆破和散射理論。特別是運用變分方法，構建新的證明框架，研究不具有Scaling不變性的方程的動力學行為；開發一種擾動技術研究不具有Galilei不變性的方程（如Beam,KdV,高階Schr?dinger方程）的動力學行為；同時擬運用線性色散方程的譜理論，研究能量位於基態附近的臨界Schr?dinger方程（如質量，能量臨界等）的動力學行為。
結題摘要
本項目主要就偏微分方程領域中的數學理論展開研究，特別是在運用調和分析工具研究色散波偏微分方程方面。 研究的模型包含Schrödinger方程，波動方程，Euler-Poisson系統，以及磁流體力學方程等。它們是量子力學，水波，以及等離子物理學中的基本模型。特別地，主要研究色散波方程和流體力學方程的動力學行為，如方程的適定性（包含局部適定性，不適定性和整體適定性）、爆破理論、散射理論、以及穩定性等。 本項目取得了很好的進展。隨著對問題的深入理解，和研究的深化，我們對研究內容作了部分調整。特別地，已接受發表的成果如下： 1． 關於Euler-Poisson方程的研究。與Dong Li合作，我們解決了二維Euler-Poisson方程Cauchy問題光滑小解的整體存在性問題, 該問題至1998年Guo Yan解決三維問題後成為著名的遺留問題。文章被國際非常具有影響力的雜誌Journal of the European Mathematical Society(見16 (2014), 2211-2266)接受發表. 2． 關於導數Schrödinger方程的研究。導數Schrodinger方程在1993年被證明當質量嚴格小於基態質量時整體適定。我們證明該方程, 當初值質量略大於基態質量時, 解在能量空間依然整體適定。這個結果表明, 基態質量並非是整體存在性和爆破的質量門檻. 這一現象與臨界位勢的Schrodinger方程及廣義KdV方程完全不同. 我們的證明方法是變分方法及其能量動量守恆. 該文被國際非常具有影響力的雜誌Analysis&PDE(見6 (2013), 1989-2002)接受發表. 最近, 我們的研究再次獲得了非常好的進展, 我們進一步證明, 當初值質量小於兩倍基態質量時, 解在能量空間依然整體適定。
