《頻率空間的分解，現代函式空間和色散型非線性方程》是依託北京大學，由王保祥擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：頻率空間的分解，現代函式空間和色散型非線性方程
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：王保祥
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
色散波方程，包括非線性Schrodinger、非線性波動、KdV等方程，是當代PDE的核心內容之一，近二十年發展的調和分析方法是色散波方程的核心研究方法。研究非線性色散波方程，我們首先需要研究解的適定性理論，解的適定性研究（粗略地說）有四方面的工作需要做：第一需要我們選取適當的函式空間；第二需要在選定的函式空間做出線性波方程的色散估計和非線性項的估計；第三需要根據方程的自身結構，得到一些先驗估計；第四需要對在解的適定空間和先驗估計尋找內在聯繫，至最後解決問題。近二十年的發展表明，前兩方面是純調和分析的內容，後兩方面也和調和分析的頻率空間分解也有很大的聯繫。本項目將對（導數型）非線性色散方程，用調和分析的方法展開研究，特別是本項目將對一類函式空間- - - - 與頻率空間分解生成的函式空間，結合色散方程做出深入研究，力爭解決導數型色散方程的1-2個前沿公開問題。
結題摘要
本項目主要研究了下面的問題: (1) Navier-Stokes方程在臨界Besov空間的不適定問題, 著名數學家Bourgain J. 等人得到Navier-Stokes 方程在臨界Besov空間B^{-1}_{\infty.q}當q＞2時不適定, 我們得到Navier-Stokes 方程在所有的臨界Besov空間B^{-1}_{\infty.q}都不適定, 這一結果當q＜2是出乎意料的. 這一結果最終回答了Navier-Stokes方程在臨界Besov空間的適定性這一長期公開問題. (2) 負責人發展了頻率一致分解方法來研究非線性偏微分方程, 針對(四階, 導數型)非線性Schrodinger方程, 得到整體適定性和散射結果, 這些結論可以推出在臨界Sobolev空間H^s中的一類大初值的整體適定性結果. (3) 研究了alpha-模空間的性質, 得到它們和Besov空間的相互嵌入, scaling 的充分必要條件. 也得到alpha-模空間的代數結構的充分條件.
