《具有不光滑孤子解非線性色散波方程的奇性解和全局解》是依託西北大學，由付英擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：具有不光滑孤子解非線性色散波方程的奇性解和全局解
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：付英
- 依託單位：西北大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
具有尖峰孤子解的方程一直是淺水波方程研究中數學家和物理學家非常關注的，而自從Camassa-Holm方程被發現以來，具有尖峰孤子解的推廣Camassa-Holm型方程層出不窮。本項目主要研究幾個推廣Camassa-Holm方程的爆破解和整體解，即我們構造的三個模型：推廣兩分量Camassa-Holm方程，μ形式的帶有三次非線性項Camassa-Holm方程以及μ形式Fokas方程，它們全局強解和全局弱解的存在性，周期情形下全局守恆解和全局耗散解的存在性和唯一性，改進的爆破結果；μ-Camassa-Holm方程和μ-Degasperis-Procesi方程更新的爆破充分條件，全局守恆解和全局耗散解的存在性和唯一性。這些推廣方程解的性質對於研究具有強非線性作用的淺水波提供一定的理論指導，而這些新模型孤子解的性質對研究相關的物理現象具有一定的指導作用。
結題摘要
本項目的主要工作是圍繞與Camassa-Holm方程和Novikov方程有密切關係的一些系統和方程展開的。首先，對一個周期情形下帶有三次非線性項和色散項的修正Camassa-Holm方程，改進了之前適定性結果，給出了該方程Cauchy問題解的最大存在時間的下界以及解析性 ；其次，證明了周期情形下帶有三次非線性項的修正Camassa-Holm方程解的不一致連續依賴性；對一個兩分量Novikov方程，在Sobolev空間中討論了解對初值的不一致連續依賴性，在周期情形下Besov空間中再次研究了解對初值的不一致連續依賴性，另外對一個具有更高階的Camassa-Holm方程，討論了解對初值的連續依賴性和不一致連續依賴性；作為Novikov方程伸縮極限的退化Novikov方程是完全可積的並且具有幾何意義，在周期情形下我們討論了該方程的適定性，強解的爆破準則和爆破的充分條件，該方程的尖峰孤子解的存在性以及相應的幾何解釋；對另外一個新的兩分量Novikov方程，我們在Besov空間中討論了強解的適定性和爆破準則，以及單尖峰和多尖峰孤子解的存在性；對於一個新的具有更高非線性性的推廣Camassa-Holm方程，我們討論了它強解的局部適定性，強解的爆破準則以及強解爆破的充分條件；對強解的長時間行為，我們分別討論了一個3+1維Kadomtsev–Petviashvili II 方程解的惟一連續性和一個推廣的Zakharov-Kuznetsov方程解的衰減性。
