四階Schrodinger方程的散射理論及低正則性研究

《四階Schrodinger方程的散射理論及低正則性研究》是夏素霞為項目負責人，河南工業大學為依託單位的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：四階Schrodinger方程的散射理論及低正則性研究
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：夏素霞
• 依託單位：河南工業大學

項目摘要

散射理論與低正則性問題是非線性發展方程，特別是非線性色散方程中的兩個主要研究方向，而四階Schrodinger方程是量子物理學與流體動力學中的重要模型。本項目主要研究四階Schrodinger方程初值問題的散射理論及其低正則性問題。研究內容包括：(1)在profile分解與集中緊方法的基礎上，通過建立Virial型不等式及構造Galilean-like變換證明非聚焦四階Schrodinger方程在低維空間的能量次臨界散射及聚焦型四階Schrodinger方程的質量臨界散射理論。(2)在Bourgain的能量歸納技術與I-乘子方法的基礎上，研究非線性四階Schrodinger方程當初值的正則性較差時的整體適定性問題。

結題摘要

本項目主要研究非線性四階Schrodinger方程初值問題在低維空間的散射理論及低正則性，經過一年的努力，基本完成了項目的預期成果，取得成果概述如下：首先，藉助於Bourgain的能量歸納技術與I-方法，以及多線性乘子技術建立了非線性四階Schrodinger方程當初值所屬空間正則性較低時初值問題的部分局部與整體適定性結果。其次，藉助於profile分解，集中緊方法以及virial型不等式，關於非線性四階Schrodinger方程初值問題在低維空間的能量次臨界散射結果已經建立，但是，由於現有技術及方法的限制，對於聚焦型初值問題低維空間的質量臨界散射還未完全解決。另外，藉助於徑向情形下的profile分解及集中緊方法建立了非線性Schrodinger-Hartree方程初值問題在能量空間的散射及爆破結果；利用Lyaponuv函式方法建立了含有阻尼項和源項的半線性波動方程初值問題在一定條件下的整體適定性及爆破結果。