同倫映射

同倫映射(homotopic maps)是拓撲學中的重要概念。應該指出,映射的同倫關係是從拓撲空間X到Y的所有連續映射所成集合C(X,Y)上的一個等價關係,它將這些映射分成一些等價類,稱每個等價類為一個同倫類。研究映射的同倫分類問題是同倫論的基本內容之一。

基本介紹

  • 中文名:同倫映射
  • 外文名:homotopic maps
  • 領域:數學
  • 學科:同倫論
  • 對應類:同倫類
  • 映射:連續映射
概念,拓撲學,拓撲空間,同倫,

概念

同倫映射(homotopic maps)是拓撲學的重要概念。直觀地說,從拓撲空間X到拓撲空間Y的連續映射f,g是同倫的,是指在Y中可將f連續形變成g。設f,g:X→Y都是連續映射,I=[0,1],若存在連續映射H:X×I→Y,使得對所有x∈X,
H(x,0)=f(x), H(x,1)=g(x),
則稱f和g是同倫的映射,記為fg:X→Y,稱H為從f到g的一個同倫或倫移,該同倫也可記為H:fg。有時記H(x,t)≡ft(x),這時的f0=f,f1=g,若對所有t,同倫ft都是X到Y的同胚,則稱f合痕於g。應該指出,映射的同倫關係是從拓撲空間X到Y的所有連續映射所成集合C(X,Y)上的一個等價關係,它將這些映射分成一些等價類,稱每個等價類為一個同倫類。研究映射的同倫分類問題是同倫論的基本內容之一。

拓撲學

拓撲學是現代數學的重要的分支學科。它研究幾何形體在連續形變,精確地說,雙方一一而且雙方連續的變換(稱為同胚)之下保持不變的性質。理解的廣泛些,它是研究數學中連續性現象的學科。
拓撲學萌芽很早,但直到19世紀末才開始從不同的方面正式形成學科。20世紀末,拓撲學已發展為現代數學的一個龐大的學科,包括作為現代數學的基礎的拓撲空間理論為核心內容的一般拓撲學,運用抽象代數的概念和方法為工具的代數拓撲學,進而派生出以流形為主要對象的微分拓撲學以及幾何拓撲學等方面.拓撲學可簡稱為拓撲,但拓撲一詞還可作為拓撲空間中的拓撲結構理解。
拓撲學最初被稱為形勢幾何學(geometria situs),這是萊布尼茨(Leibniz,G.W.)於1679年提出的,他預見到現在所稱的組合拓撲學.最早為人所知的拓撲學定理可能是所謂的歐拉公式.歐拉(Euler,L.)於1750年發表了任何閉的凸多面體的頂點數v,棱數e和面數f有關係v-e+f=2.用現代說法,它是一個拓撲不變數,稱為歐拉示性數.據史學家考證,笛卡兒(Descartes,R.)在1639年就知道它,並且萊布尼茨通過笛卡兒未發表的手稿於1675年得知這一結果.另一著名的結果是哥尼斯堡七橋問題的解決,歐拉在1736年將問題表成能否一筆畫一個給定的圖,並給出了一般性的解答.德國數學家高斯(Gauss,C.F.)於1827年得到曲面上曲率的積分與歐拉示性數的關係,他於1823年在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數.利斯廷(Listing,J.B.)於1848年第一次採用了拓撲學一詞,其實他認為寧願用形勢幾何,只是已被別人采作他用.黎曼(Riemann,B.)於1851年定義了黎曼面,引進了連通性和虧格,實際上解決了可定向閉曲面的分類問題,給拓撲學的建立以巨大的推動.1858年,默比烏斯(Mo¨bius,A.F.)和利斯廷獨立地發現了單側的曲面,現被更確切地稱為不可定向曲面.默比烏斯於1863年恰當地指出形勢幾何學的定義.貝蒂(Betti,E.)於1870年定義了高維的連通性.若爾當(Jordan,C.)於1887年提出曲線定理,但證明是錯的,直到1905年才得證.
拓撲學正式成為一門獨立的學科是龐加萊(Poincaré,H.)實現的.他於1892年發表了題為“論形勢分析”的短文,然後於1895年發表了題為“形勢分析”的120頁的長文,介紹它的概念,其中有同調、貝蒂數、相交、基本群,甚至隱含著上同調;建立了對偶定理和歐拉-龐加萊公式.隨後直到1904年,他連續發表了五篇補充,為改進前述長文中的缺點創立了剖分方法,定義了撓係數,開始探討三維流形的拓撲分類,構造出基本群不平凡而一維貝蒂數平凡的三維流形,並提出了著名的至今尚未解決的龐加萊猜想:基本群平凡的三維閉流形同胚於三維球面.這幾篇文章奠定了組合拓撲學的基礎,其思想之豐富,觀念之深刻,影響之深遠,一言難盡,但不夠嚴密或缺乏證明,後來的進展正是從此入手,將這門學科建立在嚴格的邏輯上而發展為後來的組合拓撲學、代數拓撲學,進而發展出微分拓撲學等學科和分支.

拓撲空間

拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集,在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間,這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間,1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合,並使用了“鄰域”概念,根據這一概念建立了抽象空間的完整理論,後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代,原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究,並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間積空間的緊性,他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後,法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念,使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念,推廣了距離空間,還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間,提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念,他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外,美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性,1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論,為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展,不斷取得新的成果。

同倫

設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射,若存在連續映射H:X×I→Y使得:
H(x,0)=f(x)
H(x,1)=gx∈X
則稱f與g同倫,記為f≃g:X→Y或f≃g,映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{ht}t∈I,ht連續地依賴於t且h0=f,h1=g,即當參數t從0變到1時,映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X,Y]表示X到Y的一切連續映射之集,則同倫關係≃是C[X,Y]上等價關係,每個等價類稱為一個同倫類,同倫類的全體所成集記為[X,Y]。設Y是R的子空間,f,g:X→Y是連續映射,若對每個x∈X,點f(x)與g(x)可由Y中線段連結,則f≃g:X→Y,若Y是R中凸集,任何映射f:X→Y都零倫,即[X,Y]僅含一個元素。設X,Y與Z均為拓撲空間,若f≃f:X→Y,g≃g: Y→Z,則gf≃gf: X→Z。
設X,Y為拓撲空間,若存在連續映射f:X→Y和g:Y→X,使得gf≃Idx且f·g≃idr。這Id、id均表示恆同映射,則稱f為同倫等價,g為f的同倫逆,而將X與Y稱為具有相同的倫型,或簡稱同倫的,記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的,或者存在x0∈X,使得常值映射C:X→X。x1→x0與映射idx同倫,空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條:(1)idx≃0,即恆同映射idx零倫。(2) 對任意空間Y,映射f:X→Y,有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g:Z→X,g≃0。
設A是空間X的子空間,i:A→X表包含映射,若存在連續映射r:X→A,使得r|A=idA(或r·i=idA),則r稱為X到A的保核收縮,A稱為X的收縮核。若有保核收縮r:X→A滿足i·ridx:X→X,則H稱為X到A的形變收縮,A稱為X的形變收縮核,若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x,t)=x,則H稱為X到A的一個強形變收縮,A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮,且若A是X的形變收縮核,則內射i:A→X是同倫等價。
兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是:存在空間Z,使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核
倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫,故同倫不變數一定是拓撲不變數代數拓撲學主要研究空間的同倫。
設A為空間X的子空間,序偶 (X,A) 稱為空間偶,連續映射f: X→Y,把A映到Y的子空間B內,則記f:(X,A)→(Y,B)。若有連續映射f:(X,A)→(Y,B),g:(Y,B)→(X,A)使得g·f=idx,f·g=idY,則f為空間偶的同胚。同樣有偶的同倫的概念。若有偶的同倫:fg:(X,A)→(Y,B)滿足:對任意t∈I,x∈A有H(x,t)=f(x)=g(x),稱f和g相對於A同倫,記作:
同倫映射
當A為空集∅時,相對同倫就是一般同倫。設A⊂X,則A是X的強形變收縮核的充要條件是:存在收縮映射(保核收縮)r:X→A使得ir≃idx:X→XrelA,其中i:A→X為內射。

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