和樂群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

和樂群(holonomy group)亦稱完整群。是反映一聯絡與平坦聯絡之間差別的一個群。

同倫是拓撲學的重要概念。直觀地說,從拓撲空間X到拓撲空間Y的連續映射f,g是同倫的,是指在Y中可將f連續形變成g。研究映射的同倫分類問題是同倫論的基本內容之一。

基本介紹

  • 中文名:和樂群
  • 外文名:holonomy group
  • 領域:代數
  • 別名:完整群
  • 作用:反映一聯絡與平坦聯絡之間差別
  • 產生:同倫
概念介紹,聯絡,群,同倫的概念,

概念介紹

和樂群(holonomy group)亦稱完整群。反映一聯絡與平坦聯絡之間差別的一個群。在主纖維叢上給定一個聯絡後,可將纖維沿底空間M中的曲線平行移動。設γ是一條以x∈M為基點的閉環路,從x點出發沿γ繞行一周后,位於x處的纖維中的另一點v′,一般地它不再是原來的v,記v′=v·gγ,其中gγ是結構群G中的元素。當γ取遍所有以x為基點的閉環路後,這些相應的元素gγ的全體就構成了G的一個子群H,稱為主纖維叢上該聯絡的和樂群。若艱想舉埋γ限於以x為基點的同倫於零的閉環路,則相應的元素gγ的全體就構成了G的另一個子群H,稱為該聯絡的齊次和樂群。這兩種和樂群與該聯絡的曲率有極密切的關係。使和樂群為G中恆等元的聯絡即是平坦聯絡。使齊次和樂群為G中恆等元的聯絡即是局部平坦聯絡。伯熱(Berger,M.)於1955年對黎曼流形的和樂群作出了詳盡的分類。

聯絡

為了研究更一般悼朵鑽的流形上的向量叢截面(比如切向量場)的變化,導數的概念被推廣為所謂的“聯絡”。 有了聯絡,人們就可以研究大範圍的幾何問題,這是微分幾何與物理中最重要的基礎概念之一。
嚴格地,定義D(XYTM×TMTM為聯絡,如果:
(1)D(fX+gZ)Y=fD(X)Y+gD(Z)Y
(2)D(X)(fY+gZ)=X(f)Y+fD(X)Y+X(g)Z+gD(X)Z
D為一個無撓聯絡,如果
(3)D(X)Y-D(Y)X=[X,Y],[,]為泊松括弧
稱一個無撓聯絡為列維-奇維塔聯絡,如果
(祝煮想4)X(Y,Z)=(D(X)Y,Z)+(Y,D(X)Z),(,)為黎曼度量。

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“棵估乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:
(1)封閉性,a·b∈G;
(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。
滿足交換律的群,稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。
1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。

同倫的概念

設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射,若存在連續催屑翻映射H:X×I→Y使得:
H(x,0)=f(x)
H(x,1)=g(x) x∈X
則稱f與g同倫,記為f≃g:X→Y或f≃g,映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{ht}t∈I,ht連續地依賴於t且h0=f,h1=g,即當參數習承戒糊t從0變到1時,映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X,Y]表示X到Y的一切連續映射之集,則同倫關係≃是C[X,Y]上等價關係,每個等價類稱為一個同倫類,同倫類的全體所成集記為[X,Y]。設Y是R的子空間,f,g:X→Y是連續映射,若對每個x∈X,點f(x)與g(x)可由Y中線段連結,則f≃g:X→Y,若Y是R中凸集,任何映射f:X→Y都零倫,即[X,Y]僅含一個元素。設X,Y與Z均為拓撲空間,若f≃f:X→Y,g≃g: Y→Z,則gf≃gf: X→Z。
設X,Y為拓撲空間,若存在連續映射f:X→Y和g:Y→X,使得gf≃Idx且f·g≃idr。這Id、id均表示恆同映射,則稱f為同倫等價,g為f的同倫逆,而將X與Y稱為具有相同的倫型,或簡稱同倫的,記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的,或者存在x0∈X,使得常值映射C:X→X。x1→x0與映射idx同倫,空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條:(1)idx≃0,即恆同映射idx零倫。(2) 對任意空間Y,映射f:X→Y,有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g:Z→X,g≃0。
設愚歸禁A是空間X的子空間,i:A→X表包含映射,若存在連續映射r:X→A,使得r|A=idA(或r·i=idA),則r稱為X到A的保核收縮,A稱為X的收縮核。若有保核收縮r:X→A滿足i·ridx:X→X,則H稱為X到A的形變收縮,A稱為X的形變收縮核,若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x,t)=x,則H稱為X到A的一個強形變收縮,A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮,且若A是X的形變收縮核,則內射i:A→X是同倫等價。
兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是:存在空間Z,使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。
倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫,故同倫不變數一定是拓撲不變數。代數拓撲學主要研究空間的同倫。
設A為空間X的子空間,序偶 (X,A) 稱為空間偶,連續映射f: X→Y,把A映到Y的子空間B內,則記f:(X,A)→(Y,B)。若有連續映射f:(X,A)→(Y,B),g:(Y,B)→(X,A)使得g·f=idx,f·g=idY,則f為空間偶的同胚。同樣有偶的同倫的概念。若有偶的同倫:fg:(X,A)→(Y,B)滿足:對任意t∈I,x∈A有H(x,t)=f(x)=g(x),稱f和g相對於A同倫,記作:
。 當A為空集∅時,相對同倫就是一般同倫。設A⊂X,則A是X的強形變收縮核的充要條件是:存在收縮映射(保核收縮)r:X→A使得ir≃idx:X→XrelA,其中i:A→X為內射。
1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅華在1830年首先提出的。

同倫的概念

設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射,若存在連續映射H:X×I→Y使得:
H(x,0)=f(x)
H(x,1)=g(x) x∈X
則稱f與g同倫,記為f≃g:X→Y或f≃g,映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{ht}t∈I,ht連續地依賴於t且h0=f,h1=g,即當參數t從0變到1時,映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X,Y]表示X到Y的一切連續映射之集,則同倫關係≃是C[X,Y]上等價關係,每個等價類稱為一個同倫類,同倫類的全體所成集記為[X,Y]。設Y是R的子空間,f,g:X→Y是連續映射,若對每個x∈X,點f(x)與g(x)可由Y中線段連結,則f≃g:X→Y,若Y是R中凸集,任何映射f:X→Y都零倫,即[X,Y]僅含一個元素。設X,Y與Z均為拓撲空間,若f≃f:X→Y,g≃g: Y→Z,則gf≃gf: X→Z。
設X,Y為拓撲空間,若存在連續映射f:X→Y和g:Y→X,使得gf≃Idx且f·g≃idr。這Id、id均表示恆同映射,則稱f為同倫等價,g為f的同倫逆,而將X與Y稱為具有相同的倫型,或簡稱同倫的,記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的,或者存在x0∈X,使得常值映射C:X→X。x1→x0與映射idx同倫,空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條:(1)idx≃0,即恆同映射idx零倫。(2) 對任意空間Y,映射f:X→Y,有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g:Z→X,g≃0。
設A是空間X的子空間,i:A→X表包含映射,若存在連續映射r:X→A,使得r|A=idA(或r·i=idA),則r稱為X到A的保核收縮,A稱為X的收縮核。若有保核收縮r:X→A滿足i·ridx:X→X,則H稱為X到A的形變收縮,A稱為X的形變收縮核,若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x,t)=x,則H稱為X到A的一個強形變收縮,A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮,且若A是X的形變收縮核,則內射i:A→X是同倫等價。
兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是:存在空間Z,使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。
倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫,故同倫不變數一定是拓撲不變數。代數拓撲學主要研究空間的同倫。
設A為空間X的子空間,序偶 (X,A) 稱為空間偶,連續映射f: X→Y,把A映到Y的子空間B內,則記f:(X,A)→(Y,B)。若有連續映射f:(X,A)→(Y,B),g:(Y,B)→(X,A)使得g·f=idx,f·g=idY,則f為空間偶的同胚。同樣有偶的同倫的概念。若有偶的同倫:fg:(X,A)→(Y,B)滿足:對任意t∈I,x∈A有H(x,t)=f(x)=g(x),稱f和g相對於A同倫,記作:
。 當A為空集∅時,相對同倫就是一般同倫。設A⊂X,則A是X的強形變收縮核的充要條件是:存在收縮映射(保核收縮)r:X→A使得ir≃idx:X→XrelA,其中i:A→X為內射。

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