映射提升定理

映射提升定理(map lifting theorem)是關於覆疊空間的一條定理。

覆疊空間(covering space)亦稱覆蓋空間，同倫論中一個重要概念。覆蓋空間在同倫理論、諧波分析、黎曼幾何和差分拓撲中起著重要作用。例如，在黎曼幾何中，分支是覆蓋地圖概念的概括。覆蓋空間也與同倫群體研究，特別是基礎群體的研究深深交織在一起。

基本介紹

• 中文名：映射提升定理
• 外文名：map lifting theorem
• 領域：數學
• 學科：同倫論
• 空間：覆疊空間
• 相似定理：萬有覆疊空間的存在性

概念

映射提升定理(map lifting theorem)是關於覆疊空間的一條定理。設(X'，p)是X的覆疊空間，對於連續映射f：Y→X，若存在連續映射f'：Y→X'，滿足條件p°f'=f，則稱f'為f的提升。映射提升定理：若Y是連通且局部道路連通空間，r∈Y，(X'，p)是X的覆疊空間，a∈X，b∈p(a)，則連續映射：

存在提升：

的充分必要條件為：

並且當提升f'存在時它是惟一的。這裡f_*和p_*分別為連續映射f和覆疊映射p對應的基本群之間的誘導同態。

覆疊空間

覆疊空間(covering space)亦稱覆蓋空間，同倫論中一個重要概念。

覆蓋空間在同倫理論，諧波分析，黎曼幾何和差分拓撲中起著重要作用。例如，在黎曼幾何中，分支是覆蓋地圖概念的概括。覆蓋空間也與同倫群體研究，特別是基礎群體的研究深深交織在一起。一個重要的套用來自結果，如果X是一個“足夠好”的拓撲空間，則X的連線覆蓋的所有同構類的集合與X的基本組的子群的共軛類之間存在著雙重的差異。

覆疊空間理論包括映射提升定理，覆疊空間的分類定理，以及萬有覆疊空間的存在性等內容。

連續映射

連續映射(continuous mapping)拓撲空間之間的一類重要映射。

設X，Y為任意兩個集合，映射f：X→Y，對於x₀∈X，有y₀=f(x₀)，如果對於y0的任意鄰域U(y₀)，總能找到x₀的鄰域U(x₀)，使得：

則稱映射f在點x0是連續的。如果映射f在集合X的每一點都是連續的，則稱映射f為X上的連續映射。

高等數學中連續函式的定義與這裡的連續映射概念是一致的。

設(X,T)與(Y,Τ)是兩個拓撲空間，f:X→Y是映射，x∈X。若f(x)的每一鄰域關於f的原像是x的鄰域，則稱f在點x處是連續的。若f在X的任意點是連續的，則稱f是(X,T)到(Y,U)的連續映射。f為連續映射的等價條件有很多，例如：

1.Y的每一開集的原像是X的開集；

2.Y的每一閉集的原像是X的閉集；

3.對於任意x∈X和f(x)的任意鄰域U，存在x的鄰域V使得f(V)⊂U；

4.對於X的每一子集A，有：

5.對於Y的每一子集B，有：

道路連通空間

一類拓撲空間。若對於拓撲空間X中的任意兩點都存在以這兩點分別為始點與終點的道路，則稱X為道路連通空間.若拓撲空間的子集作為子空間是道路連通的，則稱它為道路連通子集。道路連通空間一定是連通空間，但是，其逆不成立。例如，X為{(x，y)|y=sin(1/x)，x≠0}與{(0，y)|y∈[-1，1]}的並集且賦予通常拓撲，則X是連通空間但不是道路連通空間。

同倫論

代數拓撲學中研究與連續映射的連續形變有關的各種課題，是代數拓撲學的一個主要組成部分。同倫概念的直觀解釋就是連續變形，以此為基礎定義的基本群被稱為同倫群。最早論及同倫群的是法國數學家龐加萊，他於1895年引進的復形基本群被稱為第一同倫群。1912年荷蘭數學家布勞威爾引入同維流形之間映射的度以研究同倫分類，開創不動點理論。20世紀20年代德國數學家霍普夫探討了球面同倫理論。20世紀30年代波蘭數學家胡雷維奇建立了群的同倫理論，引進拓撲空間的n維同倫群。另一位波蘭數學家博蘇克於1936年定義了從拓撲空間到n維球面的映射類的和，由此得到博蘇克上同倫群。20世紀40年代原蘇聯數學家龐特里亞金給出從(n+k)維球到n維球的映射同倫分類，被稱為龐特里亞金類。20世紀50年代初，法國數學家塞爾提出了研究同倫群的新方法，利用纖維化的譜序列，取得了球面同倫群計算的突破性進展。20世紀50年代末英國數學家J.F.亞當斯提出新的譜序列，成為研究同倫論的重要工具。20世紀60年代初廣義同調論的發展使同調的問題可以轉化為同倫的問題，從此代數拓撲學的這兩個主要分支統一起來，共同獲得重大發展。