覆疊空間

覆疊空間(covering space)亦稱覆蓋空間，同倫論中一個重要概念。

覆蓋空間在同倫理論，諧波分析，黎曼幾何和差分拓撲中起著重要作用。例如，在黎曼幾何中，分支是覆蓋地圖概念的概括。覆蓋空間也與同倫群研究，特別是基本群的研究深深交織在一起。一個重要的套用來自結果，如果X是一個“足夠好”的拓撲空間，則X的連線覆蓋的所有同構類的集合與X的基本組的子群的共軛類之間存在著雙重的差異。

基本介紹

• 中文名：覆疊空間
• 外文名：covering space
• 所屬學科：代數拓撲
• 別名：覆蓋空間
• 相關術語：道路連通空間
• 定理：映射提升定理

定義

映射p:E→B稱為覆疊空間，當其為滿射，且對於B中每個b，都有開鄰域V，使得每個p(V)為E的開集，且被p同胚地映射到V。

相關概念

擁有這個性質的道路連通開子集V稱為B的基本鄰域。E為全空間，B為底空間。F_b=p(b)為覆疊空間p的纖維。

同倫論

同倫論是拓撲學的重要概念。

直觀地說，從拓撲空間X到拓撲空間y的連續映射f，g是同倫的，是指在y中可將f連續形變成g，設都是連續映射，若存在連續映射，使得對所有，則稱f和g是同倫的映射，記為稱H 為從f到g的一個同倫或倫移，這時的，若對所有t，同倫都是X到Y的同胚，則稱f合痕於g。應該指出，映射的同倫關係是從拓撲空間X到Y的所有連續映射所成集合c(x，y)上的一個 等價關係，它將這些映射分成一些等價類，稱每個等價類為一個同倫類。研究映射的同倫分類問題是同倫論的基本內容之一。

直觀地說，從拓撲空間X到拓撲空間y的連續映射f，g是同倫的，是指在y中可將f 連續形變成 g，設都是連續映射，，若存在連續映射：，使得對所有，

則稱f和g是同倫的映射，記為：，稱H 為從f到g的一個同倫或倫移，這時的，若對所有t，同倫f1都是X到Y的同胚，則稱f合痕於g。應該指出，映射的同倫關係是從拓撲空間X到Y的所有連續映射所成集合c(x，y)上的一個 等價關係，它將這些映射分成一些等價類，稱每個等價類為一個同倫類。研究映射的同倫分類問題是同倫論的基本內容之一。

詳細概念

覆疊空間亦稱覆蓋空間。同倫論中一個重要概念。設是道路連通空間，X是連通且局部道路連通空間，p：→X是連續滿映射，若對於X中每一點x都有一個道路連通開鄰域U，使得對於的每個連通分支V，p在V上的限制p|V：V→U是同胚，則稱(，p)為X的覆疊空間，稱p為覆疊映射，稱X為底空間，這樣的鄰域U稱為x的可允許的鄰域。例如，指數映射π：R^1→S^1，把t∈R^1映為e∈S^1，則(R^1，π)是S^1的覆疊空間。若對於1∈S，取：

則：

為同胚。

覆疊空間理論包括映射提升定理，覆疊空間的分類定理，以及萬有覆疊空間的存在性等內容。例如道路提升定理：設(，p)是X的覆疊空間，p：→X為覆疊映射，若a∈X，b∈p(a)，v為X的以a為起點的道路，則內有惟一的以b點為起點的道路，滿足p°=v，稱為道路v的提升。類似地，有閉路同倫提升定理：設(，p)是X的覆疊空間，若F：I×I→X為連續映射，滿足條件：

F(0，t)=F(1，t)=a，　0≤t≤1，b∈p(a)，

則存在惟一的連續映射：I×I→滿足條件：

p°=F，　(0，t)=(1，t)=b，　0≤t≤1，

稱為F的提升。根據上述提升定理可知：覆疊映射p的誘導同態p_*： π₁(，b)→π₁(X，a)是單同態。

道路連通空間

道路連通空間一類拓撲空間。若對於拓撲空間X中的任意兩點都存在以這兩點分別為始點與終點的道路，則稱X為道路連通空間。若拓撲空間的子集作為子空間是道路連通的，則稱它為道路連通子集。道路連通空間一定是連通空間，但是，其逆不成立。例如，X為{(x，y)|y=sin(1/x)，x≠0}與{(0，y)|y∈[-1，1]}的並集且賦予通常拓撲，則X是連通空間但不是道路連通空間。

映射提升定理

關於覆疊空間的一條定理。設(X~，p)是X的覆疊空間，對於連續映射f：Y→X，若存在連續映射f~：Y→X~，滿足條件p°f~=f，則稱f~為f的提升。映射提升定理：若Y是連通且局部道路連通空間，r∈Y，(X~，p)是X的覆疊空間，a∈X，b∈p(a)，則連續映射f：(Y，r)→(X，a)存在提升f~：(Y，r)→(X~，b)的充分必要條件為f_*(π₁(Y，r))p_*(π₁(X~，b))，並且當提升f~存在時它是惟一的。這裡f_*和p_*分別為連續映射f和覆疊映射p對應的基本群之間的誘導同態。