本質映射

本質映射

如果拓撲空間X到拓撲空間Y的映射同倫於一個其值域僅含單個點的映射,則稱該映射為非本質映射(inessential mapping)。不是非本質的映射稱為本質映射(essential mapping)。映入一個圓周(或n維球面)而其值域不是整個圓周(或球面)的映射是非本質的。從一個區間(或n維胞腔)到一個圓周(或n維球面)中的映射是非本質的。從一個圓周到一個圓周的映射為本質的,其必要充分條件是該圓周的象關於它的中心的旋轉數不等於零。

基本介紹

  • 中文名:本質映射
  • 外文名:essential mapping
  • 所屬學科:數學
  • 相關概念:同論,維數論等
定義,單位圓中的本質映射,本質映射與本質映射定理,

定義

緊空間X到m維球面
的映射,關於與
同倫的任意映射
,有
成立時,
稱為本質的(essential)映射,否則稱為非本質的(inessential)映射。非本質映射與“同倫於常值映射”二者是等價的。

單位圓中的本質映射

定義設E是距離空間,我們稱E到單位圓
的連續映射
非本質的,如果存在E到R的連續映射
使得對每個
都有
。E到U的一連續映射
稱為本質的,如果它不是非本質的。(以下所有結論的證明見參考資料)。
1. 若
都是E到U的非本質映射,則
也是非本質的:若
是本質的而
是非本質的,則
都是本質的。
2. 若
是E到U的非本質映射,
是距離空間F到E的連續映射,則
是非本質的。
這些性質都是定義的直接的結果。
3. 距離空間E到U的任意連續映射
,只要
,就是非本質的。
4. 若
是距離空間E到U的兩個連續映射並使得對任意
都有
,又若
是本質的(相應地,非本質的),則
也是本質的(相應地,非本質的)。
因為,
是E到U的連續映射且不取-1,於是據3它是非本質的。
5. 設E是一緊距離空間,
到U的連續映射,若映射
是本質的(相應地,非本質的),則映射
也是本質的(相應地,非本質的)。
6. (
中)一閉球到U的任何連續映射
都是非本質的。
7. 設A,B是距離空間E的兩個閉子集,並且
是連通的,設
是E到U的連續映射;若
到A與B上的限制都是非本質的,則
也是非本質的。
8. 要U到它自身的連續映射
為本質的,其充要條件是:對於閉路
9. U到它自身的恆等映射
是本質的。

本質映射與本質映射定理

維數論中主要定理之一是所謂本質映射定理(theorem on essential mappings),它是這一理論重要部分的基礎。設
是從(正規)空間X到以
為邊界的n維球
上的連續映射,設
是在這個映射之下球面
的原象,
。映射
稱為本質的(essatial),如果在所有點
上與
一致的每個連續映射
都是到整個球
上的映射。著名的Aleksandrov theorem定理說,正規空間X有維數dimX≥n,若且唯若X可被本質地映射到一個n維球上。由這個定理可以得出和定理(對於緊統,在維數論發展初期已由Menger等給出證明):如果維數dimX=n的(正規)空間X是有限或可數多個閉子集
的並,則這些
中至少有一個滿足
關於本質映射的定理是所謂的同調維數論(homologicaldimension theory)的基礎,它使我們能套用代數拓撲的方法在更為一般的假設下研究維數。空間的同調維數(homological dimension of a space)的概念與閉鏈和同調的概念有關,因此假定,與拓撲空間X同時還給定一個交換群
,稱之為係數群。於是可以談論具有這個係數群的緊統X的閉鏈,它們的支撐
,特別是談論X中關於係數域
同調於零的閉鏈。

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