可縮空間

可縮空間(contractible space)與一點所成的空間有相同倫型的拓撲空間稱為可縮空間，它是在同倫意義下最簡單的一類空間，n維歐氏空間和它的凸子集都是可縮空間，而n維球面不是可縮空間。

基本介紹

• 中文名：可縮空間
• 外文名：contractible space
• 所屬學科：數學
• 舉例：n維歐氏空間和它的凸子集
• 相關概念：同倫等價、形變收縮核等
• 定義：與一點所成的空間有相同倫型的拓撲空間

定義

與單點空間同倫等價的拓撲空間稱為可縮空間(contractible space)，這是倫型最簡單的一類空間。可縮空間是道路連通的(因為它與道路連通的單點空間同倫等價)，並且具有平凡的基本群，因而是單連通的。

相關性質

下面的定理是可縮性的等價刻畫。

定理1 空間X是可縮的 X到自身的恆同映射是零倫的．即 與常值映射 同倫( )。 -

證明: ( ) 設 ，記 ，令 使得 則 故X與 同倫等價，即X是可縮的。

( ) 設X是可縮的，則有 及同倫等價映射 及 的同倫逆 記 ，則 故X到自身的恆同映射是零倫的。

命題 如果X是可縮空間，則 都是X的形變收縮核。

證明 記 ．由於X是可縮空間，因而r是同倫等價，又由於X是道路連通的，故從{x}到X的映射類只有一個，由此可見，每一個映射 都是r 的同倫逆．特別地，含入映射 也是r的同倫逆，即有 ，因此{x}是X的形變收縮核。

例題解析

例1 (1)顯然， 及 中的凸集都是可縮空間；

(2) 對於任何拓撲空間X，由於錐頂是拓撲錐CX的強形變收縮核，因此拓撲錐CX都是可縮空間。

例2 我們來描述 的一個2-維子空間X(稱為有兩個房間的屋子)，它是可縮的，但不是以一種很明顯的方式。

為了構造這個空間，從一個被一個水平長方形分成兩個小室的盒子開始，這裡所謂“長方形”不只指它的四條邊，還包括其內部，藉由兩個垂直通道，可以從盒子外面進入兩室，上部的通道是通過在盒子的頂部打開一個正方形口子，在其正下方的水平長方形上打開另一個正方形口子，然後插入四個鉛直的長方形作為通道壁，這個通道可以從盒子外部進入下室，下部的通道用類似的方法做成，為進入上室提供了一個入口，最後插入兩個鉛直的長方形形成兩個通道的“支撐牆”，因此所得的空間X由三個同胚於圓環的水平片加上構成兩室的牆壁的所有鉛直長方形構成(如圖1,圖2所示)。

圖1 長方形構成

圖2 長方形構成

為了看出X是可縮的，考慮X的 一個閉的ε-鄰域N(X)，如果ε足夠小，這顯然可以形變收縮到X上，事實上，N(X)是從N(X)的邊界曲面到X上的 一個映射的映射柱，為了看出這一點，想像從一個黏土球製作N(X):將一個手指伸進球內做出上通道，然後慢慢地挖空下室;接著類似地伸入一個手指做出下通道，並挖空上室，從數學上來講，這個過程給出了一族嵌人映射 以通常的含入 開始，以到N(X)上的 一個同胚結束，可見X是可縮的。

例3 三角開的三條邊按如圖3(a)所示的那樣進行粘接，得到所謂的“蜷帽”，記做Q,則Q也是可縮的.Q可以看成一個圓錐體的側面粘合底邊與一條母線而得的商空間(如圖3（b）).作圓錐體的商空間S,它是把圓錐體的底邊與一條母線粘合而得的商空間(如圖4（c）)，由於圓錐體的側面是圓錐體的強形變收縮核，因而Q 是S 的強形變收縮核，由於S可強形變收縮為圖4(d) 中的圖形，而後者實際上是一個圓盤，顯然是可縮的。因此S 是可縮的，從而Q 也是可縮的。

圖3 圓錐體

圖4 圓錐體