線性常微分方程

線性常微分方程是微分方程中出現的未知函式和該函式各階導數都是一次的，稱為線性常微分方程。它的理論是常微分方程理論中基本上完整、在實際問題中套用很廣的一部份。

基本介紹

• 中文名：線性常微分方程
• 外文名：Linear ordinary differential equations
• 用途：在實際問題中套用很廣的一部份
• 分類：線性常微分方程
• 學科：數理科學

定義

一階線性微分方程的多種解法及其教學問題：

對應的齊次線性方程為 ：

微分方程

欲得到非齊次線性微分方程的通解，我們首先求出對應的齊次方程的通解，然後用待定係數法或常數變易法求出非齊次方程本身的一個特解，把它們相加，就是非齊次方程的通解。

待定係數法

考慮以下的微分方程：

對應的齊次方程是：

它的通解是：

由於非齊次的部分是 ，我們猜測特解的形式是：

把這個函式以及它的導數代入微分方程中，我們可以解出A：

因此，原微分方程的解是：

常數變易法

假設有以下的微分方程：

我們首先求出對應的齊次方程的通解 ，其中C₁、C₂是常數，y₁、y₂是x的函式。然後我們用常數變易法求出非齊次方程的一個特解，方法是把齊次方程的通解中的常數C₁、C₂換成x的未知函式u₁、u₂，也就是：

兩邊求導數，可得：

我們把函式u₁、u₂加上一條限制：

於是：

兩邊再求導數，可得：

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

整理，得：

由於y₁和y₂都是齊次方程的通解，因此和都變為零，故方程化為：

(2)和(5)聯立起來，便得到了一個和的方程組，便可得到和的表達式；再積分，便可得到和的表達式。

這個方法也可以用來解高於二階的非齊次線性微分方程。一般地，有：

其中W表示朗斯基行列式。