朗斯基行列式

朗斯基行列式

數學中,朗斯基行列式(Wronskian)名自波蘭數學家約瑟夫·侯恩·朗斯基,是用於計算微分方程解空間函式

基本介紹

定義,與線性無關解,線性微分方程,描述,定理的證明,例子,

定義

對於給定的nn-1連續可微函式,f1、...、fn,它們的朗斯基行列式W(f1, ..., fn)為:
行列式的第i行是f1、...、fn各函式的i-1導數。組成這個行列式的n方陣也稱作這n個函式的基本矩陣
在解線性微分方程時,朗斯基行列式可以用阿貝爾恆等式來計算。

與線性無關解

朗斯基行列式可以用來確定一組函式在給定區間上的線性相關性。
對於nn-1連續可微函式f1、...、fn,它們的朗斯基行列式W(f1, ..., fn):
定理:
如果f1、...、fn 在一個區間[a,b] 上線性相關,則W(f1, ..., fn) 在區間[a, b] 上恆等於零。
也就是說,如果在某些點上W(f1, ..., fn)不等於零,則f1、...、fn線性無關
注意,若W(f1, ..., fn)在區間 [a,b] 上恆等於零,函式組不一定線性相關。

線性微分方程

描述

考慮n階線性微分方程
其中
是區間 [a,b] 上的連續函式。並考慮f(t)=0,即n階齊次線性微分方程的情形:
對於一組給定的初始值:
方程 (1) 有唯一解
。如果初始值不定的話,(2) 的任一解加上
仍然是 (1) 的解。而對於 (2) ,任意k個 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解,因此 (2) 的解集構成一個線性空間,稱為 (2) 的解空間

定理的證明

如果f1、...、fn在一個區間 [a,b] 上線性相關,則存在不全為零的係數
使得對區間 [a,b] 上的任意t
因為“微分”是線性運算元,所以這個等式可以“延伸”到n-1階導數。故有以下方程組:
看作變數,則上式變為一個n元齊次線性方程組,由於這個方程有非零解,係數矩陣的行列式W(f1, ..., fn)= 0。
進一步可以證明,W(f1, ..., fn)要么在區間 [a,b] 上恆等於零,要么處處不為零(沒有零根)。於是可以證明 (2) 有n個線性無關的解,並且它們線性張成的空間就是 (2) 的解空間。所以, (2) 的解空間是一個n維線性空間。 (2) 一組n個線性無關的解稱作它的一個基本解組

例子

1.考慮三個函式:1、xx,在任意一個區間上,他們的朗斯基行列式是:
不等於零,因此,這三個函式在任一個區間上都是線性無關的。
2.考慮另三個函式:1、x和2x+3,在任意一個區間上,他們的朗斯基行列式是:
事實上三者線性相關。
3.上面已經提到,朗斯基行列式等於零的函式組不一定線性相關。下面是一個反例:考慮兩個函式,x和|x|,即x絕對值。計算兩者的朗斯基行列式
他們的朗斯基行列式恆等於零,但兩者顯然線性無關。

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