基本介紹
- 中文名：常微分方程近似解析解
- 類型：近似解析解
- 定義：方程解析
- 用途：物理
簡介
解析解 alt=常微分方程近似解析解 align=absMiddle src="" data-original=""> (1)
式中t為時間,I為電流，L、R、C分別為電路中的自感、電阻及電容，其解為
(2)
又如最簡單的單擺方程
(3)
式中g為重力加速度，l為擺長，φ為幅角，則是非線性的，其解為橢圓函式，很不便於套用。再如，有的線性方程像量子力學中常見的方程
(4)
它對未知函式u(x)是線性的，但V(x)隨x變化,是一個變係數線性方程，它是沒有精確解析解的。可見，有許多常微分方程沒有精確解析解，或雖有精確解析解，但不是初等解析函式，因此對這些方程必須去尋求近似解析解。
工程上常用的求近似解析解的辦法有兩種：
①線性化 例如,對單擺方程(3)，當單擺角度不大時（如），用φ代sinφ，使(3)線性化為得到(3)的近似解析解 ②小參數展開 即當問題中有某種量相對較小時，取作小參數，對它展開，逐次求近似（見常微分方程攝動方法）。例如在日、地、月三體問題中，太陽質量、地球質量與月球質量三者之比是因此月球質量可以看作小參數，各種量對它展開為冪級數，逐次求解。在(4)中，取啚為普朗克常數，取作小參數，代入(4)，一次近似得到(4)的近似解析解
由小參數問題還進一步引起大參數問題，亦稱奇攝動問題（見常微分方程攝動方法）。但在實際的工程技術問題中很多參數既不能看作小參數,也不能看作大參數,而又要求近似解析解，這就需要脫開線性化、小參數、大參數而去尋求一般性的近似解析解的求法，於是產生了近似解析解的研究。
對近似解析解要求它在參數和變數的特定範圍內滿足三個條件：①有簡單的解析表達式。無限項相加形式的解是不實用的。②解析表達式定性地正確（按問題的要求而定）。這是一般攝動方法中常遇到而沒有明確意識到的問題。③在給定的誤差範圍內與高精度的數值解可以定量地比較。亦即，誤差概念要具體，抽象的O(1)及O(1)在工程上是不實用的，因為具體的問題都有必須滿足的具體誤差要求。
為了達到這三個要求，一般可採取下列五個步驟：
①量綱分析與相似理論的考慮。這主要是抓住物理問題本質，減少參數個數，某些時候可將偏微分方程簡化為常微分方程，或將常微分方程簡化為代數方程，亦即減少自變數的個數，從而大大方便近似解析解的尋求，並可極大地減少計算量。
②定性分析與全局圖像的考慮。這主要是要了解相空間中軌線的全局定性圖像，以及不同區域的定性特點。解的首項一般應當定性地正確，以後各項逐次作定量的修正。這是許多技巧成功或失敗的關鍵一步。
③量級分析與粗估公式的考慮。具體問題按其具體數據都有大小之分,抓住主要矛盾,作出定性地正確，定量地合乎量級的粗的解析公式，並有意識地留下一些係數待定，以便進一步加以調整。
④數值分析與典型計算的考慮。利用計算機對典型參數組作精確數值計算，從中得到更多的信息，從而突破停留在小參數（或大參數）上的狹隘範圍，為近似解析解的作法，提供了全新的途徑。
⑤綜合上述四步，即可減少參數及變數的個數，突出主要方面作出合乎定性及量級的粗的解析形式的解，再利用數值信息使粗公式修改為較精的公式，這樣便作出了近似解析解。
下面舉兩個工程上的實際例子。
例1 求電解加工成型工藝中出現的一個微分方程的近似解析解。給定t對z的非線性常微分方程
工程上常用的求近似解析解的辦法有兩種：
①線性化 例如,對單擺方程(3)，當單擺角度不大時（如），用φ代sinφ，使(3)線性化為得到(3)的近似解析解 ②小參數展開 即當問題中有某種量相對較小時，取作小參數，對它展開，逐次求近似（見常微分方程攝動方法）。例如在日、地、月三體問題中，太陽質量、地球質量與月球質量三者之比是因此月球質量可以看作小參數，各種量對它展開為冪級數，逐次求解。在(4)中，取啚為普朗克常數，取作小參數，代入(4)，一次近似得到(4)的近似解析解
由小參數問題還進一步引起大參數問題，亦稱奇攝動問題（見常微分方程攝動方法）。但在實際的工程技術問題中很多參數既不能看作小參數,也不能看作大參數,而又要求近似解析解，這就需要脫開線性化、小參數、大參數而去尋求一般性的近似解析解的求法，於是產生了近似解析解的研究。
對近似解析解要求它在參數和變數的特定範圍內滿足三個條件：①有簡單的解析表達式。無限項相加形式的解是不實用的。②解析表達式定性地正確（按問題的要求而定）。這是一般攝動方法中常遇到而沒有明確意識到的問題。③在給定的誤差範圍內與高精度的數值解可以定量地比較。亦即，誤差概念要具體，抽象的O(1)及O(1)在工程上是不實用的，因為具體的問題都有必須滿足的具體誤差要求。
為了達到這三個要求，一般可採取下列五個步驟：
①量綱分析與相似理論的考慮。這主要是抓住物理問題本質，減少參數個數，某些時候可將偏微分方程簡化為常微分方程，或將常微分方程簡化為代數方程，亦即減少自變數的個數，從而大大方便近似解析解的尋求，並可極大地減少計算量。
②定性分析與全局圖像的考慮。這主要是要了解相空間中軌線的全局定性圖像，以及不同區域的定性特點。解的首項一般應當定性地正確，以後各項逐次作定量的修正。這是許多技巧成功或失敗的關鍵一步。
③量級分析與粗估公式的考慮。具體問題按其具體數據都有大小之分,抓住主要矛盾,作出定性地正確，定量地合乎量級的粗的解析公式，並有意識地留下一些係數待定，以便進一步加以調整。
④數值分析與典型計算的考慮。利用計算機對典型參數組作精確數值計算，從中得到更多的信息，從而突破停留在小參數（或大參數）上的狹隘範圍，為近似解析解的作法，提供了全新的途徑。
⑤綜合上述四步，即可減少參數及變數的個數，突出主要方面作出合乎定性及量級的粗的解析形式的解，再利用數值信息使粗公式修改為較精的公式，這樣便作出了近似解析解。
下面舉兩個工程上的實際例子。
例1 求電解加工成型工藝中出現的一個微分方程的近似解析解。給定t對z的非線性常微分方程
(5)
及初始條件z=0,t=0。其中5個參數A,墹,R,φ,t1的量綱為它們的變化幅度為0≤φ≤90°。要求在0≤t≤t1中函式的近似解析解,其相對誤差在10%以內。
引入無量綱化參數：則(5)化為由此得
引入無量綱化參數：則(5)化為由此得
(6)
初始條件為T=0,D=1。參數變化幅度為5≤α≤1000,0≤T1≤5,0≤φ≤90°。這裡α既不是小參數,也不是大參數，用上述五步法求得的近似解析公式為
相對誤差在10%以內。
例2 求大型體育館通風設計中出現的一個微分積分方程的近似解析解。給定非線性微分積分方程
例2 求大型體育館通風設計中出現的一個微分積分方程的近似解析解。給定非線性微分積分方程
(7)
初值x=0，y=0，變數x及y變化範圍為0≤x≤50,0≤y≤30,參數A及θ0變化的範圍為3×10-4≤A≤2×10-1,0≤θ0≤15°,要求y=y(x)及V=V(x)的近似解析解，其中
(8)
相對誤差要求在10%以內。
將(7)對x微分，可化為常微分方程
將(7)對x微分，可化為常微分方程
(9)
初值為x=0，y=0，（由(7)得出）。其解為y=y(x；A；tanθ0),這裡A可以看成小參數,用一般小參數法求解。但是用求近似解析解的方法，則首先減少參數，不論其為大參數或小參數。或引入新變數則(9)化為初值為得到解由此即得相似規律因此只要研究A=1的情形，不管A是否為小參數。經五步法得到的近似解析解為
相對誤差在10%以內。從例 2可以看出，即使有小參數，如能用相似理論消去，可以更簡便且提高精確度。
從例1中還可以得到有限擾動法。例如，方程，x=0,y=0,要對x>0求解，其中α≠0,bx,y)|≤K(常數)。這時,可利用擾動項 ?(x,y)的有限性，疊代求解。方法是取y0呏0，以及再用系列yn來逐次逼近y(x)。這種有限擾動法還可擴充到方程組。
參考書目
A. H. Nayfeh,Perturbation Methods, John Wiley & Sons, New York, 1973.
秦元勛：常微分方程近似解析解的理論與實踐，(Ⅰ)、(Ⅱ)，《計算機套用與套用數學》，1975、1978。
從例1中還可以得到有限擾動法。例如，方程，x=0,y=0,要對x>0求解，其中α≠0,bx,y)|≤K(常數)。這時,可利用擾動項 ?(x,y)的有限性，疊代求解。方法是取y0呏0，以及再用系列yn來逐次逼近y(x)。這種有限擾動法還可擴充到方程組。
參考書目
A. H. Nayfeh,Perturbation Methods, John Wiley & Sons, New York, 1973.
秦元勛：常微分方程近似解析解的理論與實踐，(Ⅰ)、(Ⅱ)，《計算機套用與套用數學》，1975、1978。
