差分法

在數學中，差分法（difference methods，簡稱DM），是一種微分方程數值方法，是通過有限差分來近似導數，從而尋求微分方程的近似解。

“差分法”是在比較兩個分數大小時，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式難以解決時可以採取的一種速算方式。是基於高中數學並套用於公考的資料分析速算高級技巧。

差分法是微分方程的一種近似數值解法。具體地講，差分法就是把微分用有限差分代替，把導數用有限差商代替，從而把基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方程（代數方程）來表示，把求解微分方程的問題改換成為求解代數方程的問題。在彈性力學中，用差分法和變分法解平面問題。

基本介紹

• 中文名：差分法
• 外文名：difference methods
• 套用學科：數學
• 類別：微分方程數值方法
• 套用：計量經濟學 彈性力學
• 用途：尋求微分方程的近似解

例子

常微分方程

例如考慮以下的常微分方程

利用數值方法中歐拉法求解，利用以下的有限差分式

來近似導數，並配合一些代數處理（等號兩側同乘以h，再加上u(x)），可得

最後的方程式即為有限差分方程，求解此方程則可得到原方程的近似解。

熱傳導方程

考慮正規化的一維熱傳導方程式，為齊次的狄利克雷邊界條件

（邊界條件）

（初始條件）

對此問題求數值解的一種方式是用差分去近似所有的導數，可以將空間分割為，將時間也分割為。假設在時間及空間都是均勻的格線切割，空間中兩個連續位置的間隔為h，兩個連續時間之間的間隔為k。點

表示的數值近似解。

顯式方法

熱傳導方程最常用顯式方法的模版

利用在時間的前向差分，以及在位置的二階中央差分（FTCS 格式），可以得到以下的疊代方程：

這是用求解一維導熱傳導方程的顯式方法。

可以用以下的式子求解

其中

因此配合此疊代關係式，已知在時間n的數值，可以求得在時間n+1的數值。及的數值可以用邊界條件代入，在此例中為0。

此顯式方法在時，為數值穩定且收斂。其數值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

隱式方法

隱式方法的模版

若使用時間的後向差分，及位置的二階中央差分（BTCS 格式），可以得到以下的疊代方程：

這是用求解一維導熱傳導方程的隱式方法。

在求解線性聯立方程後可以得到：

此方法不論 r的大小，都數值穩定且收斂，但在計算量會較顯式方法要大，因為每前進一個時間間隔，就需要求解一個聯立的數值方程組。其數值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

準確度及誤差

近似解的誤差定義為近似解及解析解之間的差值。有限差分法的兩個誤差來源分別是捨入誤差及截尾誤差（或稱為離散化誤差），前者是因為電腦計算小數時四捨五入造成的誤差，後者則是計算機內數字位數限制造成的誤差。

差分法是以在格點上函式的值為準

在運用有限差分法求解一問題（或是說找到問題的近似解）時，第一步需要將問題的定義域離散化。一般會將問題的定義域用均勻的格線分割（可參考右圖）。因此有限差分法會製造一組導數的離散數值近似值。

一般會關注近似解的局部截尾誤差，會用大O符號表示，局部截尾誤差是指套用有限差分法一次後產生的誤差，因此為，此時是實際值，而為近似值。泰勒多項式的餘數項有助於分析局部截尾誤差。利用泰勒多項式的餘數項，也就是

可以找到局部截尾誤差的主控項，例如用前項差分法計算一階導數，已知,

利用一些代數的處理，可得

注意到左邊的量是有限差分法的近似，右邊的量是待求解的量再加上一個餘數，因此餘數就是局部截尾誤差。上述範例可以用下式表示：

在此例中，局部截尾誤差和時間格點的大小成正比。

資料分析速算

適用形式

兩個分數作比較時，若其中一個分數的分子與分母都比另外一個分數的分子與分母分別僅僅大一點，這時候使用“直除法”、“化同法”經常很難比較出大小關係，而使用“差分法”卻可以很好地解決這樣的問題。

基礎定義

在滿足“適用形式”的兩個分數中，我們定義分子與分母都比較大的分數叫“大分數”，分子與分母都比較小的分數叫“小分數”，而這兩個分數的分子、分母分別做差得到的新的分數我們定義為“差分數”。例如：324/53.1與313/51.7比較大小，其中324/53.1就是“大分數”，313/51.7就是“小分數”，而(324-313)/(53.1-51.7)=11/1.4就是“差分數”。

作用準則

“差分數”代替“大分數”與“小分數”作比較：

1、若差分數比小分數大，則大分數比小分數大；

2、若差分數比小分數小，則大分數比小分數小；

3、若差分數與小分數相等，則大分數與小分數相等。

比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1與313/51.7作比較”，因為11/1.4>313/51.7（可以通過“直除法”或者“化同法”簡單得到），所以324/53.1>313/51.7。

特別注意

一、“差分法”本身是一種“精算法”而非“估算法”，得出來的大小關係是精確的關係而非粗略的關係；

二、“差分法”與“化同法”經常聯繫在一起使用，“化同法緊接差分法”與“差分法緊接化同法”是資料分析速算當中經常遇到的兩種情形。

三、“差分法”得到“差分數”與“小分數”做比較的時候，還經常需要用到“直除法”。

四、如果兩個分數相隔非常近，我們甚至需要反覆運用兩次“差分法”，這種情況相對比較複雜，但如果運用熟練，同樣可以大幅度簡化計算。

計量經濟學

差分法，計量經濟學中的專有名詞，是克服相關序列相關性的有效方法，它是將原計量經濟學模型變換為差分模型後再進行OLS估計，分為一階差分法和廣義差分法（廣義差分法又名疊代法）。

解題步驟

步驟：

一：建立微分方程

二：構造差分格式

三：求解差分方程

四：精度分析和檢驗

數學思想

通過taylor級數展開等方法把控制方程中的導數用格線節點上的函式值的差商代替進行離散，從而建立以格線節點上的值為未知數的方程組。將微分問題轉化為代數問題。

大的數 小的數

9/5 和 7/4 比較

（9-7）/（5-4）=2/1

2/1大於7/4所以9/5大於7/4