偏微分方程邊值問題差分方法

正文

典型例子是泊松方程

(1)

的邊值問題。即要求定出未知函式=(,)，使之在某個區域內滿足(1),並在區域邊界嬠上滿足一定的邊界條件，通常有如下三類：
第一類：=,
第二類：　　第三類：　　式中表示外法嚮導數,、和是定義在嬠上的已知函式。附加第一類和第二類邊界條件的問題分別稱為狄利克雷問題和馮·諾伊曼問題；有些問題在邊界不同區段滿足不同類的邊界條件，稱為混合邊值問題。
橢圓型邊值問題的求解，只在很特殊情況下才能用解析方法，一般情況下實際有效的途徑是數值方法，差分法是其中一類。
差分法的思想和做法是,把定解區域剖分為格線,在格線結點上以差商代替微商或用某種插值方式，把微分方程化為包含有限個未知數的差分方程組。差分法直觀、簡易、能普遍用於各種類型的微分方程和任意形狀的區域。因為它包含巨大的運算量，所以只在電子計算機問世之後，才得到廣泛的套用和發展。
從微分方程出發的差分化　格線剖分的一種最簡單又常用的做法是取平行於坐標軸的直線作為格線線，例如取=,=,、為步長，、取一切整數,這時格線結點為(,)。對方程(1)進行差分化、以表示差分近似解、表示在格線結點(，)上的分量。如果(,)是內結點,即鄰近四個格線結點都在上,則用中心二階差商代替二階微商代入(1),即得相應的差分方程

偏微分方程邊值問題差分方法

(2)

對第一類邊值問題，如果邊界結點正好落在嬠上，則取相應的邊界值即可。一般的情況如圖 1所示,嬠與格線線交於和,於是靠近邊界的結點可利用偏心差商建立差分方程：
式中()、()取邊界值,,是線段、的長度。
對第二、第三類邊值問題,可取外最靠近嬠的一層格線結點為邊界結點，相應的差分方程可建立如下：設邊界結點及其鄰近的邊界如圖2所示,過結點作嬠的法線,它與嬠和格線線分別交於和,用差商代替的外法嚮導數，其中()利用格線結點和上的值作線性插值，即

偏微分方程邊值問題差分方法

，

代入第二類、第三類邊界條件,就得到邊界結點的差分方程。
還可以用其他插值方法作邊界處理。但是，這種對微分方程及其邊界條件分開處理的方法，對自共軛邊值問題，包括現在討論的最簡單的典型例子，所得差分方程組的係數矩陣一般都不具有對稱性。
從積分守恆原理出發的差分化　與平衡態或定常態緊密聯繫的橢圓型邊值問題，在物理上表示某種守恆規律,在數學上表現為某種積分守恆形式。例如與方程(1)等價的積分守恆形式為