正交配置法

正交配置法

正交配置法(Orthogonal Collocation Method),是加權餘項法(Method of Weighted Residuals)的一種,可用於解線性以及非線性常微分方程組、偏微分方程組的初值和邊值問題。該方法特別適合求解非線性問題,與傳統差分法相比,具有計算精度高和穩定性好等優點。

基本介紹

  • 中文名:正交配置法
  • 外文名:Orthogonal Collocation Method
  • 定義:一種加權餘項法
  • 基本思想:將微分方程的未知解展開
  • 套用學科:數學術語
  • 範疇:數理科學
概念,基本原理,

概念

正交配置法(Orthogonal Collocation Method),是加權餘項法(Method of Weighted Residuals)的一種,可用於解線性以及非線性常微分方程組、偏微分方程組的初值和邊值問題。該方法特別適合求解非線性問題,與傳統差分法相比,具有計算精度高和穩定性好等優點。
所謂加權餘項法,是將微分方程的未知解展開成一組具有可調常數的試驗函式,選擇合適的常數值,使得試驗函式充分接近於微分方程的精確解。若選用正交多項式為試驗函式,並取正交多項式的根作為配置點時,則稱為正交配置法。

基本原理

在實際套用中,求解區域常為對稱的,如為平板、圓柱、圓球,此時可構造如下的試驗函式:
該式滿足:
式中
為常數,且
滿足上式的多項式即Jacobi多項式。
正交多項式的零點,即配置點,根據Villadsen和Stewart的研究,用配置點處的解 進行計算,可以提高計算效率,簡化電腦程式,試函式的數值導數可以表示為如下:
對於圓柱對稱系統,當配置點數N=3時,上述各參數如表1所列:
表1







1
0.29763730
0.11023111
-3.3597940
5.2924315
-3.1010284
1.1683909
2
0.63989598
0.19409673
-1.3980385
-1.5627540
4.3197367
-1.3589442
3
0.88750181
0.16442216
0.69721650
-3.6766754
-1.1267583
4.1062172
4
1
1/32
-1.2266754
5.4010626
-19*.174383
15
將上述各參數帶回待求偏微分方程(組),原方程轉化為常微分方程組,此時即可用Runge-Kutta法求解,也可將獲得的常微分方程繼續用正交配置法離散為代數方程組。

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