《特徵值問題自適應非協調有限元方法及其套用》是依託北京工商大學，由李友愛擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：特徵值問題自適應非協調有限元方法及其套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李友愛
- 依託單位：北京工商大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
很多科學與工程問題最後會歸結為特徵值問題。對於這些問題，計算出真實特徵值一個近似的上界相對而言容易些，如所有的協調元方法產生的特徵值都是上界。但是要求得特徵值一個有逼近性的下界卻絕非易事。已有文獻研究表明，在一定條件下，非協調元方法產生的特徵值是真實特徵值的下界。本項目將主要研究特徵值問題的自適應非協調元方法，包括二階橢圓特徵值問題自適應非協調元方法的收斂性和最優性，高階橢圓特徵值問題非協調元方法的後驗誤差分析及相應自適應算法的收斂性和複雜性。 將上述研究套用於流固耦合問題並研究其相應的自適應方法及相關數學理論。目標是快速高效地求解特徵值的近似下界並建立相關數學理論。
結題摘要
本項目主要對特徵值問題自適應非協調有限元方法及其套用進行研究。對任意維空間中的二階橢圓特徵值問題，證明了用Wilson元得到的離散特徵值是真實特徵值的下界。基於非協調擴充矩形旋轉Q1元，給出了 Stokes運算元特徵值一個確切的下界逼近，與文獻中大多數漸近下界逼近不同的是這個確切下界逼近不要求格線充分細。對Poisson問題，在真解只有基本正則性的假設下，利用後驗估計的技巧，基於非協調有限元空間兩個合理條件，證明了在相差一個高階震盪項的意義下相容性誤差可以被逼近誤差所界定。對各向異性擴散問題，構建了有限元格式的整體修復技術，該技術不但保持了總體能量，保證了有限元格式的精度，其計算量也很小。對泊松問題，在矩形格線上，給出了新的分析有限元疊代虧量校正格式收斂性的方法，主要思想是在單元上，把兩個關鍵的不等式轉變為廣義矩陣特徵值問題，然後求解這兩個矩陣特徵值問題，建立了疊代解的收斂性。二維情形下，這一結果改進了文獻中已有結果，三維情形下的結果是文獻中沒有的。將一階非協調四邊形擴充旋轉Q1元推廣到任意奇數階情形，定義了形函式空間和相應的自由度，證明了唯一可解性，在一般四邊形格線上，分析了這族元的先驗誤差估計，與經典的非協調有限元誤差分析相比，我們只需要求精確解具有H1的正則性。
