《基於重心插值的橢圓運算元特徵值問題的高精度算法》是依託蘇州大學，由沈銓擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：基於重心插值的橢圓運算元特徵值問題的高精度算法
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：沈銓
- 依託單位：蘇州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
橢圓運算元特徵值問題廣泛出現在各類工程計算的套用中，比如板和梁的振動，柱和殼的屈曲，車輛結構動力學分析。由於絕大多數的橢圓運算元特徵值問題都不能精確求解，數值方法成為了求解它們的有力工具。在實際科學計算中，因為受到計算機運算速度和記憶體的限制，如何高精度的求解橢圓運算元特徵值問題就成為了套用數學家和工程師們非常關心的一個重要課題。在這個項目中，我們將構造基於重心插值的橢圓運算元特徵值問題的高精度算法。這種算法對於在規則區域和不規則區域上的橢圓運算元特徵值問題都具有高逼近性。然後，我們將在數學理論上給出這種高精度算法的收斂階分析。最後，我們把這種高精度數值算法推廣運用到科學與工程計算的領域中，比如板殼振動，車輛結構動力學以及建築在外界激勵(風,地震)的動態回響等。
結題摘要
橢圓運算元特徵值問題在現代科學中有著至關重要的作用，它廣泛地出現在力學、物理、化學等自然科學的研究中，本項目針對橢圓運算元特徵值問題的數值方法開展了一系列研究，重點研究了非協調有限元方法，自適應有限元方法以及重心插值配點方法求解橢圓運算元特徵值問題的高精度數值算法；本項目還研究了一類時間二階發展型變分不等式和一類拋物發展型變分不等式的無單元Galerkin方法及其收斂性分析，以及無單元Galerkin方法在界面問題和Tresca摩擦條件下的具損傷粘彈性擬靜態摩擦接觸問題中的套用；最後，本項目還研究了四階障礙問題和具粘合的粘彈性動態無摩擦接觸問題的重心插值配點法。具體研究成果包括：(1)我們首先給出了通過構造非協調有限元進而獲得橢圓運算元特徵值下界的方法。接著給出了通過非協調元離散特徵函式的投影平均插值運算元得到特徵值上界的簡單方法並證明了所得到的特徵值上界將收斂到精確特徵值。最後，我們通過特徵值的上下界構造高精度數值算法獲得高精度的特徵值。另外，對於空腔流振動頻率的特徵值問題，我們證明了自適應有限元方法的擬最優性。此外，我們還用重心插值配點法求解了一些工程中的振動問題。(2)我們討論了一類關於時間二階導數的發展變分不等式和一類拋物發展型變分不等式的無單元Galerkin方法及其收斂性分析。我們證明了計算格式的收斂性並給出了其收斂階估計；我們把無單元Galerkin方法和浸入界面方法相結合，給出了無單元Galerkin方法在處理界面問題的具體數值格式；我們還研究了Tresca摩擦條件下的具損傷粘彈性擬靜態摩擦接觸問題，給出了問題的發展型變分不等式形式。用移動最小二乘方法以及向前差分法分別近似位移場以及時間的導數，得到了問題的無單元Galerkin方法全離散格式，給出了無單元Galerkin方法的收斂性估計。(3) 我們研究了一類四階橢圓變分不等式描述的障礙問題。通過對偶方法將較為複雜的四階障礙問題轉換為疊代的重調和問題，由此構造了對應的重心插值配點法；我們還研究了具粘彈性動態無摩擦接觸問題。該接觸受限於粘合場的影響，通過對時間採用有限差分法，空間採用重心插值配點法，構造了求解該動態模型的數值方法。
