求解界面問題的浸入界面有限元方法及其預處理算法

《求解界面問題的浸入界面有限元方法及其預處理算法》是依託南京師範大學，由陳金如擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：求解界面問題的浸入界面有限元方法及其預處理算法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：陳金如
• 依託單位：南京師範大學

項目摘要

在科學與工程計算中，人們經常需要求解界面問題，例如，模擬人類心臟的血液流動，細胞變形，水和油的界面，水和凍的界面，複合材料，多相流等等。界面問題特別在生物數學和計算流體力學中有著廣泛的套用。1994年R. LeVeque 教授和李治林教授對於界面問題提出了浸入界面方法。該方法的特點之一是基於簡單格線但仍能保持高精度。到目前該方法的研究絕大部分都是基於差分方法，基於有限元方法的研究不多。由於有限元方法在求解科學工程問題中具有的獨特的優點，特別是非協調元和等參曲邊元具有其獨特的好處，而區域分解和多重格線是求解離散問題最有效的快速算法之一，因此研究諸如二階橢圓界面問題、線彈性界面問題、Stokes界面問題、板界面問題、電磁波界面問題的基於協調元、非協調元、等參曲邊元等的浸入界面有限元方法，並研究這些離散問題的區域分解和多重格線預處理求解算法，是一個非常有意義的重要研究課題。

結題摘要

該項目對橢圓界面問題、平面線彈性界面問題、Stokes界面問題、四階方程界面問題等，深入研究了浸入界面有限元方法。對於分片不連續係數帶非齊次跳躍條件的橢圓界面問題，我們利用奇異去除技巧去處理非齊次跳躍條件，提出了一種快速的增廣浸入界面有限元方法；對於橢圓界面問題的浸入界面有限元方法，我們提出了一種對稱相容的浸入界面有限元方法；對於具有分片常係數的橢圓界面問題，我們通過引入一個新的增廣變數，提出了一種新的無需利用奇異值分解插值的增廣浸入界面有限元方法；對具有分片變係數的橢圓界面問題，通過引入法嚮導數作為增廣變數，我們提出了一種新的增廣方法。對於兩項流的Stokes界面問題，我們基於Nitsche方法和鬼罰方法，對最低階的P1/P1元提出了一種新的非匹配穩定化有限元方法；對於Stokes方程模擬的流體流和達西定律建模的多孔介質流之間的流體結構耦合問題，我們提出了一種基於笛卡爾格線的新的有限差分方法。對平面彈性界面問題，我們用P1協調元逼近位移的第一個分量，用P1非協調元逼近位移的第二個分量，提出了一種新的非協調浸入界面有限元方法；為了克服用協調元構造擴展有限元空間的非協調性，對橢圓界面題，我們提出了一種格線與界面非匹配的協調增擴有限元方法，我們利用P1協調元空間逼近解的光滑部分，利用IFEM的技巧在界面附近構造一種特殊的局部有限元空間逼近解的法嚮導數跳量，我們的協調元空間逼近不依賴於跳躍條件，也不要求係數是分片常數。對具有不連續係數的四階偏微分方程界面問題，通過引入中間邊界條件作為增廣變數，我們將原問題轉化為在界面帶源項跳躍的Poisson方程，提出了一種增廣的快速差分方法。對帶接觸阻抗複合材料熱傳導問題，通過添加鬼罰項，提出了一種非匹配有限元方法。數值實驗表明以上所提方法是有效的。此外，我們還提出了其他一些問題的數值方法，詳細結果參見正文。