各向異性高效非協調混合有限元方法研究

《各向異性高效非協調混合有限元方法研究》是依託鄭州大學，由石東洋擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：各向異性高效非協調混合有限元方法研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：石東洋
• 依託單位：鄭州大學

項目摘要

研究各向異性非協調混合有限元的構造、理論分析及數值計算的框架；重點解決好自由度少、精度高的低階非協調元對諸如非線性積分- - 微分、Navier-Stokes、熱傳導對流方程、對流擴散方程及結構特殊的Maxwell方程等有難度問題的套用；研究新構造的插值運算元（包括後處理運算元）在各向異性剖分（尤其是三角形及任意四邊形剖分）下的適定性、穩定性以及LBB條件等，並通過新的技巧，導出相應的最優的誤差估計、超逼近、超收斂及後驗估計等結果。嘗試探索各向異性元的多重格線及區域分解等新方法。提升各向異性有限元研究各個方面的數學品位。由於我們較早在國內開展這一獨具特色且有挑戰性的工作，國際上在這方面的相關報導也很少，其創新性和突破性進展對豐富和發展非協調有限元的內容有重要的理論意義和套用價值。

結題摘要

各向異性有限元研究是該領域獨具特色、有很大挑戰性的的熱點和難點之一。本項目重點解決了自由度少、精度高的低階非協調元對諸如非線性積分--微分方程、Navier-Stokes方程、Sine-Gordon方程、熱傳導對流擴散方程、流體磁力學方程組、結構特殊的Maxwell方程、變分不等式等難度問題的套用；對新構造出的插值運算元(包括後處理運算元), 在比著名學者Th. Apel等提出的更弱的各向異性三角形及四邊形剖分條件下，研究了關鍵的適定性、穩定性以及LBB條件等，並通過創新性技巧和方法，導出了相應的最優誤差估計、超逼近和超收斂結果(特別是對線性Crouzeix-Raviart型三角形非協調有限元)。另一方面，鑒於現有的定理無法套用於Morley元各向異性特徵的判別，我們採用新的思路證明了該元在各向異性矩形格線下同樣可以得到最優誤差估計。同時，探索設計出了非協調元的一些新計算方法(如穩定化方法、浸入有限元法、加罰法及辛算法等)並對其優缺點、適用範圍等特質進行了細緻的對比分析。另外，通過大量的數值算例驗證了方法的高效性。總之，通過這三年的努力，我們在本項目中初步建立起了各向異性高性能非協調混合有限元方法的單元構造、理論分析及數值計算的一般性框架，設計出了一批具有自身特色的數值計算軟體，圓滿完成了各項計畫和任務。由於國際上在這方面的報導很少，本項目組所取得的創新性和突破性成果對豐富和發展各向異性非協調混合有限元的內涵有著重要的理論意義和套用價值。