《奇異攝動問題各向異性自適應有限元》是依託鄭州大學，由陳紹春擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：奇異攝動問題各向異性自適應有限元
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：陳紹春
- 依託單位：鄭州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
奇異攝動問題有廣泛的實際套用背景，由於小參數的存在，此類問題有奇性，不僅可能有點奇性，而且可能有內、外邊界層奇性，解呈現各向異性特徵，用通常的有限元方法求解往往不能對攝動參數一致收斂。本項目研究奇異攝動問題，重點是反應-對流-擴散方程，Darcy-Stokes方程，四階奇異攝動方程，Cahn-Hilliard方程的在各向異性格線上對攝動參數一致收斂單元的構造方法和收斂機理，構造出有效單元，這方面的研究還很少。研究如何針對奇異攝動問題構造各向異性後驗誤差估計子，包括顯式的和隱式的，這些後驗誤差估計子突破已有的框架，使得不僅能檢驗出需要加密的區域，而且能檢驗出局部需要加密的方向，以便使各向異性格線更能適應奇異攝動問題的奇性，這在以往的研究中很少見到的。對由此構造出的單元和各向異性後驗誤差估計子進行數值試驗，檢驗理論分析的有效性，並由數值試驗結果反過來改進單元和各向異性後驗誤差估計子的構造方式。
結題摘要
奇異攝動問題有廣泛的實際套用背景。由於小參數的存在，此類問題有奇性，不僅可能有點奇性，而且可能有內、外邊界層奇性，解呈現各向異性特徵。用通常的有限元方法求解往往不能對攝動參數一致收斂。在單元構造方面，本項目針對四階奇異攝動問題和Darcy-Stokes問題，構造出具有一致收斂性的非協調單元；針對線彈性問題，構造了一組協調的矩形單元和一組協調的立方體單元；針對板彎曲問題，構造了一個C0連續的非協調虛擬單元和非C0連續的Morley-型虛擬單元；在離散格式設計方面，本項目針對線彈性問題，提出一個無閉鎖穩定化有限元方法和一個低階混合元的穩定化方法；針對多孔介質中的non-Fickian流，利用非協調Wilson元構造了一個半離散格式和一個全離散格式；在後驗誤差估計方面，針對Poisson問題的線性單元，推導了有保證的各向同性後驗誤差估計；針對二階橢圓問題的混合元新格式，推導了各向異性殘量型後驗誤差估計；針對擴散問題和奇異攝動反應擴散問題的協調逼近，推導了各向異性後驗誤差估計；針對對流-擴散問題的各種協調或非協調有限元方法，推導了各向同性殘量型後驗誤差估計；在自適應計算方面，基於所得的各向異性後驗誤差估計，推導出相應的各向異性誤差指示子，從而用於引導格線的各向異性自適應加密，最終實現了各向異性自適應計算。
